Áreas simples
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Sabemos que el área debajo de una curva es igual a la integral de esa región y sabemos que podemos usarla para encontrar áreas como la cantidad de propiedad que posee. Así que echemos otro vistazo a esto con un poco más de detalle. Digamos que tiene una propiedad que encontró que está justo al lado del centro comercial, y está rodeada por un río en la parte trasera y en el lado este . En el lado sur, está bordeado por una carretera y, por supuesto, en el lado oeste está el fantástico centro comercial y superplex.
El río sigue alguna función, f (x) , donde x es una variable a lo largo de la carretera ey , of (x) , es la distancia desde la carretera. Esa función es igual af (x) = 4 para x menor que 4 y 4 – ( x – 4) ^ 3 para valores de x que son mayores o iguales que 4. Dada esta función, puedes calcular el área de tu ¿derecho de propiedad? Simplemente encontrando la integral de cero a – espere un segundo. ¿Dónde termina su propiedad en el lado este? Termina donde el río se encuentra con la carretera, pero ¿dónde está ese punto? No podemos encontrar el área si no tenemos un límite superior para esta integral.
Entonces, antes de que podamos hacer algo, antes de que podamos calcular esta área, debemos determinar dónde está ese punto. ¿Qué valor de x está aquí? Echemos un vistazo al río y, en particular, a la función f (x) en ese borde este de la propiedad. La función del río en ese lado es igual a 4 – ( x – 4) ^ 3. Lo sabes porque cuando f (x) = 4, en realidad estás corriendo paralelo a la carretera, por lo que nunca vas a bajar y salir a la carretera. Saliste a la carretera por un valor de x que es mayor que 4. Entonces, ¿cuál es este valor de x ? Bueno, si la carretera está en y = 0 y el río está en y = f (x), entonces estás buscando el punto donde 0 = 4 – ( x – 4) ^ 3. Es decir, donde f (x) = 0, donde se encuentran estos dos puntos, el río y la carretera. Entonces, ¿cuál es ese punto? Bueno, si establece 0 = 4 – ( x – 4) ^ 3, puede resolver para x .
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Primero, voy a sumar ( x – 4) ^ 3 a ambos lados de la ecuación, y luego voy a sacar la raíz cúbica de ambos lados de la ecuación. Termino con x – 4 = raíz cúbica de 4. En este punto, voy a sumar 4 a ambos lados, entonces obtengo x = 4 + la raíz cúbica de 4, y esto es aproximadamente 5.6. Entonces, tomemos nuestra integral de 0 ax = 5.6. Este punto aquí, donde el río se encuentra con la carretera, ¿cómo encontramos esta integral exactamente? Bueno, esta integral sigue a f (x) , pero f (x) tiene dos ecuaciones diferentes: una para valores de x menores que 4 y otra para valores de x mayores que 4. Entonces, lo que tengo que hacer es dividir mi integral en dos partes diferentes: una parax menor que 4 y uno para x mayor que 4.
Una vez que haya dividido mi región en dos regiones diferentes y más pequeñas, es posible que note algo. Cuando f (x) = 4 para x menor que 4, solo tengo un cuadrado. Cuando x es menor que 4, f (x) va a ser igual a 4, así que para esta primera región aquí, solo tengo un cuadrado. El cuadrado mide 4 de ancho y 4 de alto. Entonces, 4 de ancho y 4 de alto, bueno, en realidad puedo encontrar un área de eso simplemente usando geometría. Son 4 al cuadrado. El área de esta región es igual a 16. Entonces, tal vez no tenga que resolver dos integrales después de todo. Tal vez en lugar de resolver la integral de 0 a 4 de f (x) y la integral de 4 a 5.6 de f (x) , pueda reemplazar esta integral de 0 a 4 de f (x)con 16. Después de todo, esa es esta área aquí; es lo mismo. Entonces, mi área total ahora es igual a 16 más la integral de 4 a 5.6 de 4 – ( x – 4) ^ 3.
Áreas funcionales en Finanzas Comerciales: definición e importancia
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Calcular la integral
Así que calculemos esa integral: (4 – ( x – 4) ^ 3) dx . Voy a dividir eso en dos integrales diferentes: una con este primer término de 4 y otra con el término – ( x – 4) ^ 3. La integral de 4 dx es muy fácil. Es solo 4 x evaluado entre el límite inferior de 4 y el límite superior de 5,6. Entonces esto es lo mismo que (4 * ( x = 5.6)) – (4 * ( x = 4)). Entonces, (4 * 5.6) – (4 * 4). Eso solo me da 6.4.
Para este segundo término, esta integral de 4 a 5.6 de ( x – 4) ^ 3, voy a usar una sustitución de u . Voy a poner u = x – 4. Eso está dentro del paréntesis aquí. Y du entonces es la derivada de esto, que es igual a dx . Cuando conecto estos en mi integral, consigo la integral de u ^ 3 du , que es igual a (1/4) T ^ 4 + mi constante de integración, C . Si introduzco u = x – 4, esta integral indefinida es igual a 1/4 ( x– 4) ^ 4. Puedo usar eso en esta integral definida simplemente usando esta antiderivada aquí, de modo que esta integral se convierta en 1/4 ( x – 4) ^ 4 evaluado entre x = 4 y x = 5.6. Ahora recuerde que tengo un signo menos entre estos términos. Así que saquemos eso al frente, solo para recordar que está ahí. Si evalúo 1/4 (5.6 – 4) ^ 4, y resto de ese 1/4 (4 – 4) ^ 4, obtengo 1.6. Entonces mi integral total de 4 – ( x – 4) ^ 3 de x = 4 ax = 5.6 es igual a 6.4 – 1.6, que es simplemente igual a 4.8.
Volviendo al problema original, donde estaba tratando de encontrar el área ahora de esta pequeña región al lado de mi gran cuadrado, encuentro que esta pequeña región tiene un área de 4.8. Agrego eso al área de mi cuadrado, que es 16, y obtengo un área total de 20,8. Realmente espero que esto sea 20.8 millas porque no tengo unidades, pero dada mi suerte, probablemente sea 20.8 pies cuadrados.
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Resumen de la lección
Así que repasemos. El área será la integral de cualquier región que le interese. Diga aquí, es la integral de este camino fluvial entre el centro comercial y el borde este de mi propiedad. Ahora, como en el caso de esta propiedad, es posible que necesitemos encontrar las raíces de la ecuación. En este caso, es donde el río se encuentra con la carretera. También es posible que debamos dividir nuestra integral en varias partes. Especialmente si tiene f (x) es igual a múltiples funciones para diferentes valores de x .
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