Cómo encontrar derivadas de funciones implícitas

Función implícita

Diagrama de la tierra propiedad del tío Joe

Tengo un tío Joe que es granjero. Le gustan mucho las matemáticas, así que me habló de su parcela de tierra. Dijo que su tierra se extiende x metros al este yy metros al norte. Él dijo: ‘Sabes, el área de esa tierra que tengo es ( x ) ( y )’. Eso es porque su tierra es solo un rectángulo, y el borde, o perímetro , alrededor de su tierra es solo 2 x + 2 y ; tenemos x + y + x + y . Ahora el tío Joe me dijo que su tierra siempre cumple una condición. Es decir, el área de su terreno es siempre igual a la mitad del perímetro. En otras palabras, ( x ) (y ) = 1/2 (2 x + 2 y ) = x + y . ¡Eso es genial, tío Joe! Te encantan las matemáticas, ¿para qué me necesitas?

Bueno, el tío Joe siempre quiere que esta ecuación, ( x ) ( y ) = x + y , sea cierta. Está en el negocio de la tierra. Quiere saber si compra más tierra al este, de modo que si cambia x , ¿cuánto tiene que cambiar y para mantener la ecuación verdadera? Quiere saber dy / dx – la cantidad y debe cambiar, mientras que x está cambiando. Oh, entonces el tío Joe quiere que calcule una derivada. Puedo hacer esto.

Derivadas de una función implícita

Encontrar y prima en el ejemplo del tío Joe

Bien, encuentre dy / dx para ( x ) ( y ) = x + y . Lo primero que quiero hacer es configurar y = f (x) … uh-oh, no puedo hacer eso; No puedo separada x y y a diferentes lados de esta ecuación particular. Esto hará que el granjero Joe se sienta realmente infeliz. Bueno, tal vez haya otra forma de encontrar dy / dx . Recuerdo que para encontrar dy / dx de f (x) , escribí y = f (x) y diferencié ambos lados. Tengo dy / dx = d / dx f (x) . ¿Por qué no lo intento aquí?

d / dx ( xy ) = d / dx ( x + y ). Para d / dx ( xy ), parece algo en lo que necesito usar la regla del producto: d / dx ( x ) y + d / dx ( y ) x . El primer término es 1 * y , o y , más dy / dx ( x ). Puedo escribir dy / dx como y` , luego todo el lado izquierdo de mi ecuación se convierte en y + xy` . El lado derecho de mi ecuación es d / dx( x + y ). Puedo dividir eso y escribir d / dx ( x ) + d / dx ( y ). Eso es solo 1 + dy / dx = 1 + y` . Toda mi ecuación – cuando diferencia ( x ) ( y ) = x + y – es y + xy` = 1 + y` . De acuerdo, pero estoy tratando de encontrar dy / dx o y` .

Así que resolvamos esto para y` . Primero, recopilemos todos los términos, mueva todos los términos y` al lado izquierdo, xy` – y` = 1 – y . Vamos a cabo factor de y` , así que tengo y` ( x – 1) = 1 – y . Luego, dividamos los lados izquierdo y derecho por ( x – 1), y terminamos con y` = (1 – y ) / ( x – 1). ¡Vaya, eso fue mucho trabajo para el tío Joe!

Pasos para la diferenciación implícita

En el ejemplo final, use la regla del producto en el primer término, ye ^ x

Lo que acabamos de hacer es un ejemplo de diferenciación implícita . Para la diferenciación implícita, podemos seguir estos pasos:

1. Diferenciar ambos lados.
2. Reúna los términos y` a un lado de la ecuación.
3. Factor y` de los términos.
4. Resuelve para y` .

Hagamos un ejemplo. Digamos que tenemos y = ye ^ x + x , y digamos que estamos tratando de encontrar y` , o dy / dx .

Nuestro primer paso es diferenciar ambos lados. d / dx ( y ) = d / dx ( ye ^ x + x ). Entonces d / dx ( y ) es solo dy / dx . d / dx del lado derecho es un poco más complicado. Veamos este primer término, ye ^ x . La derivada de ye ^ x es y ( d / dx ( e ^ x )) + e ^ x ( d / dx ( y)). Eso es solo usar la regla del producto. Este primer término se convierte en ye ^ x + e ^ x dy / dx . El segundo término es solo x , y si tomamos la derivada de x con respecto ax , obtenemos 1. Muy bien, entonces escribamos dy / dx como y` : y` = ye ^ x + e ^ ( x ) y` + 1. Genial, hemos diferenciado ambos lados.

Ahora, recopilemos todos los términos y` en un lado de la ecuación: y` – e ^ ( x ) y` = ye ^ x + 1. Así que todo lo que he hecho es mover e ^ ( x ) y` a el lado izquierdo. Fantástico, a mitad de camino. Ahora voy a factorizar y` : y` (1 – e ^ x ) = ye ^ x + 1. Finalmente, voy a resolver para y` dividiendo todo por (1 – e ^ x ), entonces y` = ye^ x + 1 / (1 – e ^ x ). Esto es genial, siempre que x no sea igual a cero. Si x = 0, estamos tratando de dividir entre cero y no podemos hacer eso.

Resolviendo para y prima en el ejemplo final

Así es como encontramos y` , o dy / dx , para otro caso donde tenemos una ecuación implícita, y = ye ^ x + x .

Resumen de la lección

Diferenciación implícita es lo que se utiliza cuando se tiene x e y en ambos lados de una ecuación y que está buscando para dy / dx . Hicimos esto en el caso de la tierra del granjero Joe cuando nos dio la ecuación ( x ) ( y ) = x + y .

Para hacer una diferenciación implícita, nosotros:

1. Diferenciar ambos lados.
2. Reúna los términos y` a un lado de la ecuación.
3. Factor y` de esos términos.
4. Resuelve para y` .

Terminamos con y` como una función de x e y .