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Cómo encontrar el área entre funciones con integración

Publicado el 3 noviembre, 2020

Encontrar el área entre curvas

Entonces, a estas alturas ya sabe cómo encontrar las áreas de regiones simples, como esa parcela de tierra de cultivo que es solo un rectángulo, y regiones un poco más complejas, como el área entre una carretera y un río. Pero no todas las regiones son tan simples. No todas las regiones están delimitadas por líneas rectas o el eje x . Así que consideremos un tipo de propiedad totalmente diferente.

Digamos que estás mirando esta vasta área de tierra entre dos ríos , un acantilado y algunas montañas. Una vez más, puede asignar funciones a estos ríos, digamos, f (x) = cos (( pi / 10) x ) +5 para el río superior, y el río inferior tiene una función g (x) = sin (( pi / 2) x ) +1. Y sabes que el acantilado está en x = 0 y las montañas en x = 10. ¿Cómo puede encontrar el área de esta región cerrada? En general, vas a escribir el área entre curvas como la integral sobre tu región donde x = a a x = b, entonces ese es el lado izquierdo al lado derecho. Vas a integrar f (x) , que es tu límite superior, menos g (x) , tu límite inferior, y vas a integrar sobre x .


Restar dos áreas en el primer ejemplo
Restar dos áreas

¿Qué significa esto en términos de nuestra hermosa propiedad entre ríos? Bueno, aquí está mi área: Estoy integración entre el límite izquierdo de una y el límite derecho b , f (x) al menos el límite superior g (x) el límite inferior. Esto es lo mismo que escribir la integral de a a b de f (x) menos la integral de a a b de g (x) . Entonces, tal vez al escribirlo dividido de esta manera, podríamos tener una mejor idea de lo que realmente dice esta ecuación de área. La integral de a a b de f (x) dxes toda esta región aquí. La integral de una a b de g (x) es la región más baja aquí. Entonces, al restar la región inferior de toda la región, me quedo solo con nuestra propiedad, solo este límite que me importa, que es lo que definimos como el área.

Resolver restando dos áreas

Así que hagamos esto. f (x) , mi límite superior, es esta función aquí, cos (( pi / 10) x ) +5. Vamos a conectar eso. Mi límite inferior, g (x) , es sin (( pi / 2) x ) +1. Conectemos eso aquí. De hecho, puedo simplificar este integrando como cos (( pi / 10) x ) -sin (( pi / 2) x ) +4. Es más 4 porque tengo un más 5 menos 1. Bien, senos y cosenos ; estas son integrales con las que me siento bastante cómodo. Tengo esto ( pi / 10) x y esto ( pi / 2) xque no sé muy bien qué hacer, pero creo que una simple sustitución de u funcionará. Entonces usemos u = ( pi / 10) x para este primer término. Cuando hago eso, mi integral del primer término se convierte en 10 / pi * sin (( pi / 10) x ). Mi segundo término es -sin (( pi / 2) x ). Aquí vamos a utilizar una u sustitución de u = ( pi / 2) x para que todo dentro de los paréntesis es simplemente u . Cuando hago esa sustitución u y resuelvo la integral, obtengo 2 / pi * cos ((pi / 2) x ). Entonces, podría estar preguntando, ¿a dónde fue el seno menos? Bueno, recuerda que la derivada del coseno es menos el seno. Entonces, para que este seno coincida con este seno después de tomar la derivada del coseno, necesito cambiar esto para que sea un plus. Este último término es más 4 y la integral de más 4 es más x .


Gráfica correspondiente a la resolución del problema de intersección
Resolver el gráfico de intersección

Voy a evaluar todos esos porque esta es una integral definida de 0 a 10. Cuando conecto 10, obtengo (10 / pi ) * sin (( pi / 10) * 10) + (2 / pi ) * cos (( pi / 2) * 10) +4 (10). Voy a restar de eso esta enorme función evaluada en x = 0. Entonces eso es (10 / pi ) * sin (( pi / 10) * 0) + (2 / pi ) * cos (( pi / 2) * 0) +4 (0). Si evalúo los seis términos, obtengo 0- (2 / pi ) +40 para ese primer término x = 10. Para este segundo término gigante, obtengo 0+ (2 / pi ) +0. Entonces, en general para mi integral del área, obtengo 40- (4 / pi), que es aproximadamente 38,7. Entonces tengo 38.7 millas cuadradas de tierra aquí. Suena como una propiedad bastante buena.

Resolviendo la intersección

Una vez que sepa cómo encontrar el área entre dos curvas, las posibilidades son ilimitadas. Por ejemplo, podrías encontrar el área entre f (x) y g (x) limitada en un lado por x = a , y en el otro lado, el punto donde f y g se encuentran. Ahora voy a llamar a este punto x = by tengo que resolver ese punto, y ahí es donde f (b) = g (b) . Así que lo único que hago es encontrar los X y Y. valores que satisfacen estas ecuaciones. Así que ahora mi área sigue siendo la misma: el área desde el límite izquierdo, a , hasta ese nuevo punto,by la curva superior, f (x) , menos la curva inferior, g (x) .

Dividir el área en dos partes


Encuentre el área total dividiendo primero las dos regiones
Gráfico de partes del área de división 2

Un ejemplo un poco más complicado es este tipo de ejemplo. En este caso, tengo f (x) como mi función superior y g (x) como mi función inferior. Pero en algún momento, ya no tengo la función inferior de g (x) . En cambio, la parte inferior de mi área está en y = 0; es el eje x aquí. Entonces, en el lado izquierdo aquí, estoy encontrando el área entre f (x) y g (x) , pero en el lado derecho, necesito encontrar el área entre f (x) y el eje x .

Entonces, para encontrar el área total, voy a dividir esto en esas dos regiones. Primero voy a encontrar el área entre x = una y D , que es donde g (x) golpea el x eje x. Esa área es la diferencia entre f (x) y g (x) . Es como todas las otras áreas que hemos encontrado en esta lección. A eso, voy a agregar esta región. Esta región es muy similar a lo que aprendimos antes. Esta es solo el área entre f (x) y el eje x . Entonces esa es la integral entre d y b de f (x) .

Usar funciones inversas para encontrar el área

Ahora echemos un vistazo a este gráfico donde tengo y como una función de x para dos gráficos diferentes aquí. Imagínese ahora volteando los ejes x e y . Así que tomé esto y lo volteé. Si hago esto, podría escribir mi función principal que era y = f (x) cuando x es igual a la función inversa, f inversa de y . La función inferior que era y = g (x) es lo mismo que x es igual a la inversa de g de y .


El uso de funciones inversas para encontrar el área le da solo una integral para resolver
Resolver por gráfico de funciones inversas

Esto puede parecer muy complicado al principio, pero todo lo que he hecho es que he cambiado X y Y ; Acabo de cambiar los nombres de las variables. Entonces, lo que fue x es y y lo que fue y es x . Para hacer eso y mantener mis mismas funciones, ahora estoy usando la función inversa. Si hago eso, puedo encontrar el área en términos de y . Así que ahora, voy a integrar entre y = 0 y y es igual a este punto aquí. Voy a integrar mi curva superior, que es f inversa de y , menos mi curva inferior, que es g inversa de x. Esto es lo mismo que hicimos antes, excepto que ahora puedes imaginar que todas las x s se convirtieron en y s. Aparte de eso, es exactamente lo mismo. Entonces, ¿por qué harías esto? Bueno, ahora solo tiene una integral para resolver, mientras que en nuestro ejemplo anterior, teníamos dos integrales. Entonces, a veces, si cambia su forma de pensar, puede hacer su vida un poco más simple.

Resumen de la lección

Así que repasemos. En general, todo lo que necesita saber sobre la zona es que el área entre dos curvas, digamos f (x) y g (x) entre los valores de x = a y x = b va a ser dada por la integral de a a b que define su región de f (x) menos g (x) ; esa es su curva superior menos su curva inferior.

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