Rodrigo Ricardo

Cómo escribir la ecuación de una hipérbola en forma estándar

Publicado el 1 noviembre, 2020

Una hipérbola

Cuando se trata de álgebra, tenemos ecuaciones y luego tenemos ecuaciones de forma estándar. Las ecuaciones en forma estándar son aquellas ecuaciones que están escritas de tal manera que podemos ver nuestra información útil con solo mirar los números. En esta lección en video, hablaremos sobre la ecuación de forma estándar de una hipérbola.

Una hipérbola es una forma que parece dos arcos uno detrás del otro. Obtienes este tipo de forma cuando apilas dos conos de gofres de helado uno encima del otro para que sus puntas se toquen en el medio y luego lo cortas de manera que atravieses ambos conos. Al igual que con las hipérbolas, puede apilar sus conos en posición vertical o puede colocarlos a un lado. Si sus conos están en posición vertical, entonces su hipérbola se abrirá hacia arriba y hacia abajo. Si sus conos se colocan sobre una superficie plana, entonces su hipérbola se abre hacia la izquierda y hacia la derecha. Debido a que tenemos estas dos direcciones diferentes en las que puede estar nuestra hipérbola, tenemos dos formas diferentes de nuestra ecuación de forma estándar, una para la hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo y otra para la hipérbola que se abre hacia los lados.

La forma estándar de una hipérbola que se abre hacia los lados es ( xh ) ^ 2 / a ^ 2 – ( yk ) ^ 2 / b ^ 2 = 1. Para la hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo, es ( yk ) ^ 2 / a ^ 2 – ( xh ) ^ 2 / b ^ 2 = 1. Observe que la x aparece primero para la hipérbola que se abre hacia los lados y la y aparece primero para la hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo. Entonces puedes vincular esto con el eje en el que están los conos. Si es el eje x , la hipérbola se abre hacia los lados y la xaparece primero. Si es el eje y , entonces la hipérbola se abre hacia arriba y hacia abajo y la y aparece primero. Observe también que la h siempre aparece con la x y la k con la y . Y la a siempre viene antes de la b, como ocurre en el alfabeto. Las letras h , k , una y b están ahí para proporcionar información útil acerca de nuestra hipérbola, como veremos más adelante.

El problema

Cuando se le presenta un problema que le pide que escriba la ecuación en forma estándar de una hipérbola, el problema deberá proporcionarle solo unos pocos bits de información. La información que necesita saber es la ubicación del centro de la hipérbola, la ubicación de sus vértices (las puntas de los arcos de la hipérbola) y la ubicación de los focos (el punto en cada arco donde la relación de la distancia desde cualquier punto del arco a este punto de enfoque a la distancia desde este mismo punto en el arco a una línea recta es siempre la misma).

Cuando se escribe en forma estándar, nuestra ecuación de hipérbola nos dice que nuestro centro está ubicado en ( h , k ) y que nuestros vértices están a un espacio de distancia del centro en ambas direcciones. Para hipérbolas que hasta abierto y hacia abajo, los vértices son unos espacios por encima y por debajo del centro. Para hipérbolas que de lado abiertas, los vértices son unos espacios a la izquierda ya la derecha de nuestro centro. La ubicación de los focos es c espacios lejos del centro, donde c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. Al igual que para los vértices, si la hipérbola está en posición vertical, los focos se ubican cespacios por encima y por debajo del centro, y si la hipérbola es lateral, entonces los focos se ubican c espacios a la izquierda y derecha del centro.

Veamos ahora un ejemplo. Nuestro problema nos pide que escribamos la ecuación en forma estándar de una hipérbola con un centro ubicado en (1, 2), con vértices ubicados en (-2, 2) y (4, 2) y con focos ubicados en (-4, 2). ) y (6, 2).

Centros, vértices y focos

Con esta información, podemos seguir adelante y escribir nuestra ecuación en forma estándar completa. Lo primero que vemos es que nuestro centro está en (1, 2) así que eso significa que nuestra h es 1 y nuestra k es 2. ¡Hasta ahora, todo bien! Tenemos dos de nuestras cartas abajo. Sólo tenemos una y B ahora.

El siguiente paso es ver qué tan lejos están los vértices del centro y en qué dirección. Podemos trazarlos en papel cuadriculado o simplemente comparar la ubicación de los puntos con nuestro centro. Vemos que (-2, 2) está a 3 puntos a la izquierda de nuestro centro y el otro punto (4, 2) está a 3 puntos a la derecha de nuestro centro. Eso nos dice que nuestra hipérbola está de lado, por lo que la x aparecerá primero. Dado que los vértices están a 3 puntos del centro en cualquier dirección, nuestra a es 3.

Para encontrar nuestra b , encontraremos qué tan lejos están los focos del centro. Mirando los puntos, vemos que ambos están a cinco puntos de nuestro centro. Entonces eso nos dice que nuestra c es 5. Entonces podemos usar la fórmula c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 para encontrar nuestra b . Conocemos el valor de c y una , que podemos enchufar Después de conectar los de podemos resolver para. B : 5 ^ 2 = 3 ^ 2 + b ^ 2. Para resolver b , primero evalúo todos mis cuadrados para obtener 25 = 9 + b ^ 2. Luego, resto 9 de ambos lados para obtener 16 = b^ 2. Por último, tomo la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar que b = 4.

Escribir la ecuación

Ahora que tengo toda mi información, ahora puedo insertarlos en mi ecuación de forma estándar. Enchufo 1 para h , 2 para k , 3 para a y 4 para b . Como mi hipérbola está de lado, usaré la forma estándar donde la x aparece primero. ( x – 1) ^ 2/9 – ( y – 2) ^ 2/16 = 1.

Observe cómo elevé al cuadrado mi 3 para convertirme en 9 y mi 4 para convertirme en 16. ¿Y adivinen qué? ¡He terminado! Si mi hipérbola estuviera en posición vertical, entonces usaría la ecuación de forma estándar donde la y aparece primero.

Resumen de la lección

Así que, ¿qué hemos aprendido? Hemos aprendido que una hipérbola se parece a dos arcos uno al lado del otro. Las ecuaciones de forma estándar son aquellas ecuaciones que están escritas de tal manera que podemos ver nuestra información útil con solo mirar los números.

La forma estándar de una hipérbola que se abre hacia los lados es ( xh ) ^ 2 / a ^ 2 – ( yk ) ^ 2 / b ^ 2 = 1. Para la hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo, es ( yk ) ^ 2 / a ^ 2 – ( xh ) ^ 2 / b ^ 2 = 1. En ambos casos, el centro de la hipérbola está dado por ( h , k ).

Los vértices están a un espacio del centro. En hipérbolas verticales, es un espacio por encima y por debajo del centro. Para hipérbolas laterales, es un espacio a la izquierda y derecha del centro. Los focos de la hipérbola se ubican luego a c espacios del centro, donde c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. Los focos están ubicados en la misma dirección que los vértices.

Para escribir nuestra ecuación en forma estándar, solo necesitamos saber la ubicación del centro, los vértices y los focos. El centro nos da los valores de nuestra h y k . Los vértices nos dan el valor de a y nos dicen la dirección de nuestra hipérbola. Si la hipérbola está de lado, la x aparece primero. Si la hipérbola está en posición vertical, la y aparece primero. Los focos nos dan el valor de c . Para encontrar nuestro valor de b , usamos la fórmula c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 para resolver b .

Los resultados del aprendizaje

Al final de la lección, debería poder:

  • Identificar los valores de las variables en la ecuación de forma estándar de una hipérbola
  • Escribe la ecuación de una parábola en forma estándar.

¡Puntúa este artículo!