Determinando el tamaño de su tierra
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Acaba de heredar un terreno y quiere saber exactamente cuánta tierra tiene. Entonces, ¿cómo determinaría cuánta tierra tiene? Dibujemos tu trama. Tu tierra va entre un camino y un río. El río tiene una especie de curvas; cambia, por lo que no siempre está a la misma distancia de la carretera. Sabes que tu tierra se extiende a lo largo del camino desde una boca de incendios hasta un pino. Todo lo que hay allí es suyo, por lo que puede trazar una línea desde la boca de riego hasta el árbol y una línea desde el pino hasta el río. ¿Cómo calcularía cuánta área es realmente? Una forma de hacerlo es ver qué tan lejos se extiende su propiedad a lo largo del camino y qué tan lejos está el río, por ejemplo, en la boca de incendios. Tienes un ancho a lo largo de la carretera y tienes una altura que está en tu boca de incendios. Si observa su propiedad en un mapa, es posible que esta no sea la mejor estimación de su área. Podría estar perdiendo una región e incluso podría incluir parte del río o incluso la tierra al otro lado del río.
Usando múltiples áreas
Entonces, ¿cómo podría obtener una mejor estimación? Digamos que mide qué tan lejos está el río en la boca de incendios y luego toma otra medida, digamos en el centro exacto de su propiedad. Eso es lo lejos que está el río en el medio de la propiedad. Entonces, encuentra el área de esas dos regiones, siendo la primera región el área entre la boca de incendios y la mitad de su propiedad y la segunda región es el área entre la mitad de su propiedad y su árbol. También sabe que su área total será la suma de su primera área más su segunda área. Cada una de sus áreas es la altura en ese punto multiplicada por el ancho de su propiedad dividida por dos, porque cada área es la mitad del ancho de su propiedad total.
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De acuerdo, tal vez sea una mejor estimación de su propiedad. Pero puede que todavía haya un área o dos que le falten y no esté convencido. Digamos que desea una mejor estimación, por lo que divide su propiedad en tercios. Haces lo mismo y dices que el área total es igual al primer tercio (cerca de la boca de incendios), el tercio medio y el último tercio (junto a ese pino). Mientras lo hace, ¿por qué no divide su propiedad en 16 partes y mide la distancia desde el río hasta la carretera en algún lugar para cada una de estas 16 partes? Ahora tienes la altura y el ancho de cada una de las 16 partes. Como tiene la altura y el ancho, puede sumar el área de cada una de las 16 partes para calcular el área total de su propiedad. Bueno, esto va a ser mucho, quiero decir, 16 términos, 16 áreas que tenemos que sumar.
Usar notación de suma
Quizás deberíamos usar la notación de suma. Recuerde que la notación de suma agrega un montón de términos y etiqueta estos términos como 1 an . Escribimos esto como la suma de k , que es nuestro índice de suma, es igual a 1 (nuestro límite inferior) an (nuestro límite superior) de un sub k . Así que esto es para todos estos términos individuales. En el caso de nuestra propiedad, donde estamos tomando 16 partes, vamos a sumar todas esas áreas. Así que vamos a sumar el área de la primera parte, la segunda parte, la tercera parte … hasta la 16ª parte. Para averiguar el área de la propiedad, vamos a escribir la suma de k = 1 a 16 del área de la región k. Esa es el área de esa primera rebanada más el área de esa segunda rebanada más el área de la tercera rebanada y así sucesivamente, pero escrita de forma un poco más compacta.
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Bien, entonces, ¿cómo haríamos esto matemáticamente? Llamemos al río f (x) . Eso es lo lejos que está de la carretera, que vamos a llamar el eje x . Pongamos un eje y , llamemos a la boca de incendios a ; ese es el lado izquierdo de nuestra propiedad. Y llamaremos al pino b ; ese es el lado derecho de nuestra propiedad. Veamos un área en particular. Digamos que dividimos la propiedad en 16 sectores y veamos el octavo sector. Queremos averiguar cuál es el área de esta octava porción. El ancho de esta octava área será un delta x . La altura del área va a ser f (x) en algún lugar de esta octava región, así que ‘f ( x sub 8). El área de esa octava porción va af ( x sub 8) * ( delta x sub 8) – Estoy llamando a ese ancho delta x sub 8 solo para que cada porción pueda tener un ancho diferente si quiero que sea. Si tuviera que usar este tipo de notación para la primera área, tendría f ( x sub 1) * ( delta x sub 1), la segunda área sería f ( x sub 2) * ( delta x sub 2), y así sucesivamente para las 16 áreas. El área 16 sería f ( x sub 16) * ( delta xsub 16). Si quisiera encontrar el área total, sería la suma de todas estas áreas individuales. Podría escribir esto como la suma de k = 1 a 16 del área del corte k . Si conecto cada una de estas áreas, entonces sé que el área de k es f ( x sub k ) * ( delta x sub k ). Entonces puedo escribir esto como la suma de k de 1 a 16 de f ( x sub k ) * ( delta x sub k ).
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Comprensión de las sumas de Riemann
Esto es lo que se conoce como suma de Riemann y no se limita a 16 rebanadas. Puede dividir su área en n porciones. Generalmente, escribimos las sumas de Riemann como el área entre alguna función, y = f (x) , y el eje x . Usando la notación de suma, esto es igual a la suma, a medida que k va de 1 an , de f ( x sub k ) * ( delta x sub k ) para cada uno de los n cortes.
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Resumen de la lección
Piense en la suma de Riemann como una forma de estimar el área de su propiedad. Todo lo que es es una forma de sumar todas las pequeñas porciones diferentes de su propiedad desde la carretera hasta el río. Cada uno de estos sectores tiene un área f ( x sub k ) * ( delta x sub k ). Cuando los suma todos, obtiene la suma de k = 1 an para todos los n sectores de f ( x sub k ) * ( delta x sub k ). Esta es la suma de Riemann.
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