Curtosis: Qué es y cómo se calcula

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¿Por qué importa la curtosis?

¿Has notado que algunas veces los datos salen muy concentrados en torno a un valor y otras veces aparecen valores extremos que rompen el patrón? Imagina una fiesta: en algunos grupos todo el mundo habla a volumen moderado (poca “cola” de conversaciones intensas), pero en otras fiestas hay unos pocos que gritan y llaman la atención (colas largas). La curtosis es una medida estadística que nos ayuda a describir exactamente ese comportamiento: qué tan “picuda” o “aplanada” es la forma de una distribución de datos y, sobre todo, cuánto peso tienen los valores extremos.

En este artículo te explico de forma clara y paso a paso qué es la curtosis, cómo se calcula (con fórmulas y un ejemplo numérico), por qué no es exactamente lo mismo que la «cola» aunque esté relacionado, y dónde se usa en la vida real. El tono será cercano y con analogías cotidianas para que puedas retener la idea sin perderte en tecnicismos.

¿Qué es la curtosis?

La curtosis es una medida que describe la forma de la distribución de una variable, en particular el grado de concentración en el centro y el peso de las colas (valores extremos). De forma intuitiva:

Cuando una distribución tiene más eventos extremos de lo que cabe esperar en una campana normal, decimos que es leptocúrtica (cola “gruesa” o “pesada”).
Cuando tiene menos eventos extremos y se ve más aplanada en las colas, se llama platicúrtica (colas “delgadas”).
Una distribución con curtosis igual a la de la distribución normal se denomina mesocúrtica.

En términos técnicos se suele hablar de curtosis (kurtosis) y de curtosis en exceso (excess kurtosis). La curtosis en exceso compara la curtosis de una distribución con la de la normal (que tiene curtosis igual a 3). Por eso:

[{eq}\text{Curtosis en exceso} = \text{Curtosis} – 3{/eq}]

Si la curtosis en exceso es positiva → más colas que la normal (leptocúrtica). Si es negativa → menos colas que la normal (platicúrtica). Si es aproximadamente 0 → parecida a la normal (mesocúrtica).

¿Cómo se calcula la curtosis? — Fórmulas clave y su sentido

Hay varias formas de calcularla según estemos trabajando con la población completa o con una muestra. Aquí están las fórmulas más claras y usadas:

Curtosis poblacional (definición teórica)

Se define con el momento central de cuarto orden:

[{eq}\gamma_2 = \dfrac{\mu_4}{\sigma^{4}}{/eq}]

donde

[{eq}\mu_4 = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^{4}
\quad\text{y}\quad
\sigma^{2} = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^{2}{/eq}]

Aquí ({eq}\mu{/eq}) es la media poblacional y (N) el número de observaciones de la población. La curtosis en exceso sería ({eq}\gamma_2 – 3{/eq}).

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Curtosis muestral (estimador ajustado)

Con datos muestrales es habitual usar un estimador corregido para reducir el sesgo. Un estimador muy usado (Fisher–Pearson ajustado) para la curtosis en exceso muestral es:

[{eq}g_2 = \dfrac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} \sum_{i=1}^{n}\left(\dfrac{x_i – \bar{x}}{s}\right)^{4} ;-; \dfrac{3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}{/eq}]

donde:

(n) es el tamaño de la muestra,
({eq}\bar{x}{/eq}) la media muestral,
(s) la desviación estándar muestral (es decir, la raíz de la varianza muestral ({eq}s^{2} = \dfrac{1}{n-1}\sum (x_i – \bar{x})^{2}){/eq}).

Ese primer término estandariza las potencias cuartas y aplica factores para corregir el sesgo; el segundo término resta la constante que convierte la medida en curtosis “en exceso” (comparada con la normal).

Observación práctica: muchas librerías estadísticas ofrecen varias implementaciones (curtosis poblacional, muestral sin corrección, muestral con corrección). Es importante saber cuál se usa en cada software.

Paso a paso con un ejemplo numérico (fácil)

Veamos un ejemplo concreto y corto para fijar la idea. Considera la muestra:

[{1,,2,,3,,4,,5}]

Media: ({eq}\bar{x} = \dfrac{1+2+3+4+5}{5} = 3{/eq})
Desviación típica muestral:
- Varianza muestral ({eq}s^{2} = \dfrac{1}{n-1}\sum (x_i – \bar{x})^{2}{/eq}).
- Desviaciones al cuadrado: ({eq}(1-3)^{2}=4,\ (2-3)^{2}=1,\ (3-3)^{2}=0,\ (4-3)^{2}=1,\ (5-3)^{2}=4{/eq})
- Suma: (4+1+0+1+4=10.)
- ({eq}s^{2} = \dfrac{10}{5-1} = \dfrac{10}{4} = 2.5{/eq})
- ({eq}s = \sqrt{2.5} \approx 1.5811{/eq})
Estandarizamos las observaciones: calculamos ({eq}t_i = \dfrac{x_i – \bar{x}}{s}) y luego (t_i^{4}{/eq}).
- Para ({eq}x_1=1{/eq}): ({eq}t_1 = \dfrac{1-3}{1.5811} \approx -1.2649); (t_1^{4}\approx 2.5569{/eq}).
- Para ({eq}x_2=2{/eq}): ({eq}t_2 \approx -0.6325); (t_2^{4}\approx 0.1600{/eq}).
- Para ({eq}x_3=3{/eq}): ({eq}t_3 = 0); (t_3^{4}=0{/eq}).
- Para ({eq}x_4=4{/eq}): ({eq}t_4 \approx 0.6325); (t_4^{4}\approx 0.1600{/eq}).
- Para ({eq}x_5=5{/eq}): ({eq}t_5 \approx 1.2649); (t_5^{4}\approx 2.5569{/eq}).
- Suma de cuartas potencias: aproximadamente (5.44).
Aplicamos la fórmula ajustada (Fisher–Pearson):

[{eq}g_2
= \dfrac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} \sum_{i=1}^{n} t_i^{4}
;-; \dfrac{3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}{/eq}]

Sustituimos (n=5) y la suma (=5.44):

[{eq}g_2
= \dfrac{5\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2}\cdot 5.44 ;-; \dfrac{3\cdot 4^{2}}{3\cdot 2}
= \dfrac{30}{24}\cdot 5.44 ;-; \dfrac{48}{6}{/eq}]

Calculando cada término con cuidado:

({eq}\dfrac{30}{24} = 1.25{/eq}) Entonces ({eq}1.25 \times 5.44 = 6.8{/eq})
({eq}\dfrac{48}{6} = 8{/eq})

Por tanto:

[{eq}g_2 = 6.8 – 8 = -1.2{/eq}]

El resultado indica curtosis en exceso ({eq}\approx -1.2{/eq}): la distribución de nuestro ejemplo es platicúrtica (menos colas/extremos que la normal).

Si hubiéramos usado la fórmula poblacional, habríamos obtenido un resultado ligeramente distinto porque la varianza poblacional y el muestreo afectan la normalización. Lo importante es entender el signo y la interpretación.

Analogías para recordar la curtosis

Montañas y mesas: imagina perfiles topográficos. Una distribución leptocúrtica es como una montaña alta y estrecha (mucho peso en el centro y colas relativamente gruesas); una platicúrtica es como una meseta extendida (más llana en el centro, menos extremos).
Fiesta: si todos hablan a volumen medio (poca cola), es platicúrtica. Si hay unos pocos que gritan o la música se dispara (muchos extremos relativos), es leptocúrtica.
Riscos vs. colinas: la curtosis no solo mide lo “alto” del pico sino también cuánto peso hay en las colas; dos distribuciones pueden tener picos parecidos pero colas muy distintas.

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Curtosis vs. asimetría (skewness) — no confundir

La asimetría (skewness) mide si la distribución está inclinada hacia la derecha o la izquierda (asimetría). La curtosis mide la “cola” y la concentración central. Son complementarios: una distribución puede ser simétrica (skewness = 0) pero leptocúrtica (colas pesadas), o asimétrica con distintas curtosis.

Dónde y por qué interesa la curtosis

La curtosis aparece en muchos campos. He aquí algunos ejemplos concretos y cotidianos:

Finanzas: los rendimientos de activos muchas veces muestran colas más pesadas que las de una normal — es decir, hay eventos extremos (caídas o subidas fuertes) con mayor probabilidad de la esperada. Saberlo ayuda a medir riesgo, precios de opciones y gestionar “colas” de pérdidas.
Seguros y actuariado: para estimar la probabilidad e impacto de siniestros extremos (p. ej., catástrofes), la curtosis informa sobre la presencia de eventos raros pero muy costosos.
Calidad y control de procesos: en control estadístico, detectar si los extremos son más frecuentes de lo esperado puede indicar que hay causas especiales que requieren atención.
Ciencias naturales y médicas: muchas variables biológicas no siguen exactamente una normal; la curtosis ayuda a modelar datos como intensidades de señales, conteos raros o medidas con extremos.
Machine learning y detección de anomalías: detectar colas pesadas puede mejorar modelos de detección de outliers o ajustar transformaciones de datos.
Meteorología y climatología: para estudiar fenómenos extremos (olas de calor, precipitaciones intensas) la curtosis y otras medidas de colas son críticas.

Limitaciones y precauciones al usar la curtosis

No es una prueba definitiva: curtosis alta indica probabilidad relativa de extremos, pero no dice qué tan extremos ni su naturaleza. Siempre conviene mirar histogramas o cuantiles.
Sensibilidad a outliers: la curtosis utiliza potencias altas (cuarta potencia) y por eso es muy sensible a valores extremos; un único outlier puede cambiar mucho el resultado.
Distintas definiciones: como explicamos, hay versiones (poblacional, muestral sin corrección, muestral corregida). Si comparas resultados de distintas fuentes, asegúrate de que la definición coincide.
No sustituye al entendimiento del dominio: por ejemplo, en finanzas la curtosis por sí sola no explica la dependencia temporal ni los mecanismos que generan extremos.

Cómo interpretar resultados en la práctica (reglas útiles)

Curtosis en exceso ≈ 0: distribución parecida a la normal (mesocúrtica).
Curtosis en exceso > 0: colas más pesadas (leptocúrtica); mayor probabilidad de observaciones muy alejadas de la media.
Curtosis en exceso < 0: colas más delgadas (platicúrtica); menos probabilidad de extremos.

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En términos probabilísticos: la curtosis en exceso nos da una idea de cuántas veces más probable (a nivel relativo) pueden ser los extremos respecto a la normal, aunque para decisiones prácticas suele ser útil combinarla con medidas de cola específicas (p. ej., percentiles, value-at-risk).

Buenas prácticas al calcular curtosis con software

Comprueba cuál definición usa la función (muchas librerías tienen una opción bias o fisher para indicar si devuelven curtosis en exceso o no).
Si la muestra es pequeña (poca (n)), utiliza estimadores con corrección (como el de Fisher–Pearson) o interpreta con cautela.
Acompaña la estadística con visualizaciones: histograma, gráfico de densidad, boxplot y cuantiles. La curtosis sola no sustituye la inspección visual.
Si tienes outliers sospechosos, investiga si son errores de medición antes de aceptar la curtosis que arrojan.

Ejemplo aplicado: interpretación en finanzas (breve)

Supón que calculas la curtosis de los rendimientos diarios de un activo y obtienes curtosis en exceso = +4. Esto sugiere colas mucho más pesadas que la normal: eventos extremos (pérdidas o ganancias fuertes) son más probables de lo que supondrías con un modelo normal. Para gestión de riesgo, esto implicaría reservar mayor capital o usar modelos que contemplen colas pesadas (p. ej., distribuciones t de Student, modelos EVT — extreme value theory).

Resumen/Conclusión

La curtosis es una medida simple pero poderosa para describir la forma de una distribución respecto a su pico y sus colas. Te dice, de forma cuantitativa, si los datos tienden a producir más valores extremos de lo que esperaría una normal o si, por el contrario, esos extremos son raros. No es una herramienta aislada: es más útil combinada con medidas de asimetría, percentiles y gráficos.

Puntos a recordar:

Curtosis mide “picudéz” y la presencia de colas; se relaciona con la probabilidad de valores extremos.
La curtosis en exceso compara con la normal; valores positivos indican colas pesadas.
Usa estimadores corregidos cuando trabajes con muestras pequeñas.
Visualiza siempre tus datos: la curtosis complementa, no reemplaza, la inspección visual.

Resultados del aprendizaje (qué deberías poder explicar ahora)

Al terminar este artículo deberías ser capaz de:

Definir curtosis y distinguir entre leptocúrtica, platicúrtica y mesocúrtica.
Explicar la diferencia entre curtosis poblacional y curtosis muestral, y por qué existe la “curtosis en exceso”.
Calcular (a nivel práctico) la curtosis en exceso para una muestra pequeña siguiendo los pasos mostrados.
Interpretar el signo y magnitud de la curtosis en contextos reales (finanzas, calidad, ciencia).
Reconocer limitaciones del uso de la curtosis y buenas prácticas al aplicarla con software.

Continua con:

Rodrigo Ricardo Editor y fundador