Demostrar teoremas usando propiedades numéricas

Publicado el 14 noviembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Demostrando múltiplos pares

Se dice que los matemáticos son grandes abogados. ¡Eso es probablemente porque son tan buenos para probar cosas!

Supongamos que Earl Integral es un abogado de matemáticas y está trabajando duro en un caso. Su cliente, el acusado, ha afirmado que si se multiplican dos números pares, el resultado también es un número par. El demandante afirma que, dado que hay tantos números pares, el acusado no puede probarlos todos y hacer esta afirmación.

¡Earl al rescate! El día del juicio, Earl le dice al jurado que demostrará, sin lugar a dudas, que lo que dice su cliente es cierto.

Earl explica que, por definición, un número par es un número de la forma 2 k , donde k es un número entero. Le dice al jurado que considere dos números pares. Por definición, tendrían la forma 2 m y 2 n , donde m y n son números enteros. Si multiplicamos estos dos números juntos, obtenemos lo siguiente:

  • (2 m ) (2 n )

Eliminar paréntesis usando la propiedad asociativa

  • 2 × m × 2 × n

Reorganizar usando la propiedad conmutativa

  • 2 × 2 × m × n

Agregue entre paréntesis usando la propiedad asociativa

  • 2 (2 m n ) |

Terminamos con 2 (2 mn ). Desde m y n son números enteros, se deduce que 2 mn es también un número entero, porque los números enteros son cerrados bajo multiplicación. Por lo tanto, tenemos que el producto de dos números pares cualesquiera es igual a 2 veces un número entero (la definición de un número par). Por tanto, el producto de dos números pares cualesquiera es también un número par.

Earl acaba de ganar el caso de su cliente.

Demostrar teoremas

El argumento de Earl se llama demostrar un teorema en matemáticas. La demostración de un teorema utiliza propiedades, otros teoremas probados y reglas para demostrar teoremas matemáticos. En la demostración de Earl, utilizó bastantes propiedades numéricas diferentes , propiedades sobre conjuntos de números que siempre son verdaderas.

numbpropthm1

En general, las propiedades de los números son una gran herramienta para ayudarnos a demostrar teoremas. Echemos un vistazo a un par de ejemplos.

Ejemplo 1: Resta de números impares

Supongamos que estamos teniendo en cuenta que un + b es impar, donde un y b son enteros, y queremos demostrar que unb es también impar. ¡Este es otro ejemplo de cuando las propiedades numéricas son realmente útiles! Para esta prueba, usaremos las siguientes propiedades numéricas:

  1. Un número impar es un número que se puede escribir como 2 k + 1, donde k es un número entero.
  2. Si a = b , entonces a ± c = b ± c .
  3. Si un = b , entonces podemos sustituir una por B o b para un en cualquier expresión.
  4. a ( b ± c ) = ab ± ac
  5. Los números enteros se cierran mediante resta.

Se nos da que a + b es impar, así que por la propiedad 1, a + b = 2 k + 1, donde k es un número entero. Queremos mostrar que ab también es impar, por lo que queremos mostrar que ab = 2 m + 1 para algún entero m .

a + b = 2 k + 1 Por propiedad 1
a = 2 kb + 1 Por propiedad 2
unb = (2 kb + 1) – b = 2 k – 2 b + 1 Por propiedad 3 y simplificando
unb = 2 k – 2 b + 1 = 2 ( kb ) + 1 Por propiedad 4

Tenemos que ab = 2 ( kb ) + 1, y por la propiedad 5, dado que k y b son números enteros, kb es un número entero, llámelo m . Por lo tanto, ab tiene la forma 2 m + 1, donde m es un número entero, por lo que por la propiedad 1, ab es impar.

¡Tan limpio! ¡Consideremos un ejemplo más!

Ejemplo 2: resolución de ecuaciones lineales

Cuando resolvemos una ecuación lineal, probablemente sepa que aislamos la variable en un lado de la ecuación para encontrar un valor para ella. Lo que quizás no sepa es que hacer esto es en realidad un ejemplo de cómo demostrar un teorema usando propiedades numéricas. Es decir, ¡estamos probando que un cierto número es la solución de una ecuación dada usando propiedades numéricas! Por ejemplo, supongamos que se nos da que

  • 4 x + 27 = 9 x – 8

Y queremos demostrar que x = 7. En otras palabras, queremos demostrar el teorema de que si 4 x + 27 = 9 x – 8, entonces x = 7. Para hacer esto, usaremos las siguientes propiedades numéricas:

  1. Si a = b , entonces a ± c = b ± c .
  2. Si a = b , y c ≠ 0, entonces a / c = b / c .
  3. Si a = b , entonces b = a .

Se nos da que 4 x + 27 = 9 x – 8, así que comenzaremos allí y observaremos que resolver la ecuación para x es lo mismo que demostrar este teorema usando propiedades numéricas.

4 x + 27 = 9 x – 8 Dado
27 = 5 x – 8 Por propiedad 1
35 = 5 x Por propiedad 1
7 = x Por propiedad 2
x = 7 Por propiedad 3

Vemos que si 4 x + 27 = 9 x – 8, entonces x = 7.

Es interesante ver que cada paso del proceso de resolución está justificado por alguna propiedad numérica.

Resumen de la lección

En matemáticas, demostrar un teorema implica usar reglas, propiedades, otros teoremas probados, etc., para demostrar que un enunciado matemático debe ser verdadero o falso. Las propiedades numéricas son propiedades que siempre satisfacen determinados conjuntos de números. Podemos usar las propiedades de los números para demostrar teoremas comenzando con un enunciado dado y usando estas propiedades para deducir lógicamente que algo es verdadero o falso.

Existen numerosas propiedades numéricas diferentes que se pueden usar para probar teoremas, por lo que cuanto más trabaje y aprenda, más teoremas podrá probar usándolos. Siga practicando, y si encuentra que es lo que le conviene, entonces quizás convertirse en abogado sería una buena carrera para usted.

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