¿Qué es el Teorema de Wilson?

Si alguna vez has sentido que los números primos se comportan de forma impredecible, el Teorema de Wilson es una de esas reglas secretas que los doma con elegancia. En pocas palabras: un número entero p>1 es primo si y solo si (p−1)!+1 es divisible por p. Dicho de otro modo: $(p-1)!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$. No te preocupes si ahora suena críptico; en los siguientes párrafos desglosaremos cada símbolo, cada truco y cada aplicación real de este teorema fascinante que, aunque no se usa para encontrar primos gigantes, encierra una belleza matemática inigualable.

Primeros pasos: factoriales y congruencias

Para dominar el Teorema de Wilson, necesitas dos herramientas básicas: el factorial y la aritmética modular.

• Factorial: $n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1$.
  Ejemplo: $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$.
• Aritmética modular: Decimos que $a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ si $p$ divide exactamente a $a-b$.
  Ejemplo: $7\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ porque $7-2=5$ es divisible por 5.

El teorema conecta ambos mundos: el factorial de $p-1$ tiene un comportamiento muy especial frente al módulo $p$.

Enunciado formal del Teorema de Wilson

Teorema (Edward Waring, 1770, atribuido a John Wilson):
Sea $p$ un número entero mayor que 1. Entonces $p$ es primo si y solo si$$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

En lenguaje cotidiano:

• Si $p$ es primo, al calcular $(p-1)!$ y sumarle 1, el resultado es múltiplo de $p$.
• Si al hacer esa operación obtienes un múltiplo de $p$, entonces $p$ es primo.

Ejemplo con un primo pequeño: p=5
$(5-1)!=4!=24$.
$24+1=25$, que es divisible por 5. ✅

Ejemplo con un número compuesto: p=6
$(6-1)!=5!=120$.
$120+1=121$, que no es divisible por 6 (121 ÷ 6 ≈ 20.166). ❌

Demostración visual: ¿por qué funciona?

Si $p$ es primo → se cumple la congruencia

Para un primo $p$, los números $1,2,\dots ,p-1$ forman un grupo multiplicativo módulo $p$. Cada elemento $a$a tiene un único inverso $b$ tal que $a\cdot b\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$. Excepto dos casos especiales: $1$ y $p-1$ (que es $-1$−1) son sus propios inversos. Todos los demás se agrupan en pares $(a,a^{-1})$ con $a\mathrm{\ne }{a}^{-1}$. Al multiplicar todos los números de 1 a $p-1$, cada par contribuye con 1, así que el producto total es $1\cdot (p-1)\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$. Por tanto .

Si se cumple la congruencia → $p$ es primo

Supongamos que $(p-1)!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ pero $p$ es compuesto. Entonces $p$ tiene un divisor $d$ con $1<d<p$. Ese $d$ aparece en el factorial $(p-1)!$, luego $(p-1)!$ es múltiplo de $d$. Pero la congruencia dice que $(p-1)!+1$ es múltiplo de $p$, por tanto también múltiplo de $d$. Es decir, $d$d divide a $(p-1)!+1$ y también a $(p-1)!$. Por tanto $d$ divide a la diferencia: $[(p-1)!+1]-(p-1)!=1$. Contradicción, porque $d>1$ no puede dividir a 1. Entonces $p$ no puede ser compuesto, luego es primo.

Ejemplos prácticos para estudiantes

Observación: El teorema falla para $p=1$p=1 (no se considera primo ni compuesto). Para $p=2$ funciona perfectamente: $(2-1)!=1$, $1+1=2$ divisible por 2.

Utilidad real del Teorema de Wilson (más allá del examen)

A simple vista parece una definición elegante pero inútil para computación, porque calcular $(p-1)!$ para primos grandes es inviable (el número crece desmesuradamente). Sin embargo:

• Fundamento teórico para demostrar otros resultados importantes (como el pequeño teorema de Fermat o la existencia de raíces primitivas).
• Cribas y test de primalidad para números pequeños o medianos en entornos educativos.
• En criptografía se usa como base para ciertos generadores de números pseudoaleatorios y en la demostración de propiedades de números primos.
• Problemas de olimpiadas matemáticas: Muchos ejercicios de teoría de números se resuelven usando Wilson de forma ingeniosa.

Ejemplo de problema típico:

Demuestra que si $p$p es primo impar, entonces $\left(\frac{p-1}{2}\right){!}^2\equiv (-1{)}^{\frac{p+1}{2}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$.

Este tipo de identidades se deducen emparejando términos en $(p-1)!$ y usando Wilson.

Generalizaciones y teoremas relacionados

• Teorema de Gauss–Wilson (para módulos no primos):
  Para un entero $n>1$, el producto de los enteros positivos menores que $n$ y coprimos con $n$ es congruente con $-1$ módulo $n$ solo cuando $n=4,p^k,2p^k$ con $p$ primo impar. En otros casos da $+1$+1.
• Teorema de Lehmer: Condiciones necesarias y suficientes para que ciertos productos sean congruentes con ±1.
• Relación con el teorema de Fermat: Wilson se puede deducir del pequeño teorema de Fermat, y viceversa, formando parte de la «trinidad» de los teoremas clásicos de primos (junto con el teorema de Euler).

Errores comunes al estudiar el Teorema de Wilson

1. Creer que sirve para encontrar primos grandes → No, porque el factorial crece exponencialmente.
2. Olvidar el «solo si» → El teorema es una equivalencia, no solo una implicación.
3. Aplicarlo a números no enteros → Solo funciona con números naturales mayores que 1.
4. Confundir (p−1)!+1 divisible por p con (p−1)! divisible por p → Son opuestos.
5. Pensar que funciona para p=1p=1 → No, $1$1 no es primo ni compuesto.

Implementación en pseudocódigo (para entender su ineficiencia)

text

function esPrimoWilson(p):
    if p <= 1: return false
    factorial = 1
    for i from 2 to p-1:
        factorial = factorial * i
    if (factorial + 1) % p == 0:
        return true
    else:
        return false

Complejidad: $O(p)$ multiplicaciones y números enormes. Para $p=1000000$, el factorial tiene millones de dígitos. Por eso en la práctica se usan tests probabilísticos (Miller-Rabin) o deterministas más rápidos (AKS).

Ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicio 1: Verifica si 13 es primo usando Wilson.
Solución: $12!=479001600$. $479001600+1=479001601$. Dividiendo entre 13: $479001601\mathrm{/}13=36846277$ exacto. ✅

Ejercicio 2: Demuestra que 15 no es primo mediante Wilson.
Solución: $14!$ es enorme pero no necesitamos calcularlo entero. Como 15 es compuesto (3×5), el factorial contiene a 3 y a 5, luego $14!$ es múltiplo de 15, entonces $14!+1$ deja resto 1 al dividir por 15, no -1. ❌

Ejercicio 3: Halla el resto de $100!$ módulo 101.
Solución: 101 es primo, entonces $100!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}101)$, es decir, el resto es 100.

Contexto histórico: el misterio de Wilson

John Wilson (1741–1793) fue un matemático y juez inglés. Nunca publicó el teorema; su profesor Edward Waring lo anunció en 1770 sin demostración, diciendo que Wilson lo había conjeturado. Lagrange dio la primera demostración en 1771. Durante siglos se creyó que Wilson era el autor, pero hoy se sabe que Leibniz ya conocía el resultado un siglo antes (en 1682), aunque nunca lo publicó. Es un caso clásico de ley de Stigler: los descubrimientos rara vez llevan el nombre de su verdadero descubridor.

Resultados de aprendizaje

Después de leer este artículo, el estudiante será capaz de:

1. Enunciar correctamente el Teorema de Wilson en su forma de equivalencia lógica.
2. Aplicar el teorema para determinar si un número pequeño (menor que 20) es primo o compuesto, calculando factoriales manualmente.
3. Demostrar la implicación «si $p$ es primo entonces $(p-1)!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$» usando el concepto de inversos modulares.
4. Demostrar la implicación inversa (si la congruencia se cumple, entonces $p$p es primo) por reducción al absurdo.
5. Identificar las limitaciones prácticas del teorema para el testeo de primalidad en números grandes.
6. Resolver problemas de olimpiada que requieran manipular congruencias y factoriales usando Wilson.
7. Distinguir entre el Teorema de Wilson, el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler, explicando sus relaciones.
8. Calcular restos de factoriales módulo un primo sin necesidad de calcular el factorial completo.
9. Explicar por qué el teorema falla para números compuestos, usando ejemplos concretos como $p=4$ o $p=6$.
10. Reconocer el contexto histórico del teorema y la paradoja de su nombre.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador