Método de disco en cálculo: fórmula y ejemplos

El método del disco en cálculo

¿Recuerdas este juguete de tu primera infancia?

Esta pila de anillos es una excelente ilustración de cómo funciona el método del disco en cálculo. Podemos encontrar el volumen del cono (la pila de anillos) sumando los volúmenes del anillo violeta al anillo azul al anillo azul claro al anillo verde y así sucesivamente.

En otras palabras (palabras menos coloridas), el método del disco es el proceso de encontrar el volumen de un objeto dividiendo ese objeto en muchos cilindros / discos pequeños y luego sumando los volúmenes de estos pequeños discos. El radio del cilindro está dado por una función f (x) y la altura es el cambio en x . Si encontramos el límite del volumen cuando el cambio en x llega a cero y el número de discos se acerca al infinito, entonces tendremos el volumen real del objeto y no solo una estimación. Este volumen es la anti-derivada del cuadrado de la función f ( x ) del punto a al punto b, multiplicado por 3,14. Esta lección contendrá una explicación del proceso, un ejemplo del proceso y algunas modificaciones del concepto.

Si se toma una sección de una a b de la gráfica de una función f ( x ) y girarla alrededor de una línea, que va a crear un sólido tridimensional. El volumen de este sólido se puede encontrar utilizando el método de integración del disco. El método del disco se basa en la fórmula para el volumen de un cilindro: V = 3,14 h r ^ 2. Imagínese un cilindro que yace de lado. El eje x pasa por su centro, el eje y está contra la base izquierda, la base derecha está ubicada en x = by la parte superior del cilindro es y = 2.

Tenga en cuenta que el radio de este cilindro va desde el x eje x a la línea y = 2, una distancia de 2. La altura (a pesar de que se pone en su cara) es de una a b a lo largo del eje x. La altura se puede escribir como b – a o como el cambio de x . El volumen de este cilindro es 3,14 (2) ^ 2 (cambio de x ). Dado que este cilindro se creó girando y = 2 alrededor del eje x , podemos llamar a y = 2 como nuestra función, f ( x ). Entonces podemos decir que el volumen de este sólido es 3.14 veces f ( x ) ^ 2 veces el cambio en x.

Observe que con este sólido la función f ( x ) no proporciona un valor constante para el radio. Cualquier cilindro que pudiéramos imponer a este sólido sería solo una estimación del volumen del sólido. Si dividimos f ( x ) en secciones y encontramos el volumen de cada cilindro, obtendríamos una mejor estimación cuando todos esos discos se sumen. Cuantos más discos se midan, mejor será la estimación. Si pudiéramos medir un número infinito de discos, entonces tendríamos el volumen real del sólido. Este es el punto en el que entra en juego el cálculo. Encontrar el límite del volumen como la altura va a pequeña infinitamente es la primitiva de la plaza de la función f ( x ) a partir de un a b veces 3.14.

Ejemplo de método de disco

Encuentre el volumen del sólido creado cuando g ( x ) = 3x ^ 2 + 2 cuando x (que comienza en 1 y va a 4) gira alrededor del eje x.

Ejemplo del método de disco

Para calcular esta integral de 1 a 4, debes encontrar la anti-derivada de g ( x ). G (x) (la anti-derivada de g ( x ) ^ 2) es 9/5 ( x ) ^ 5 + 2 x ^ 3 +4 x .

Para encontrar el volumen del sólido:

-Evaluar G (4) -G (1)

G (4) = (9/5) (4) ^ 5 +2 (4) ^ 3 + 4 (4) = 1987.2

G (1) = (9/5) (1) ^ 5 + 3 (1) ^ 3 + 4 (1) = 7.8

G (4) -G (1) = 1979,4

Luego multiplique por 3,14. (1979,4) (3,14) = 6215,32 unidades cúbicas.

Rotación alrededor del eje Y

Hasta el momento, todo se ha girado alrededor del eje x , pero no siempre es así. La función también se puede rotar alrededor del eje y . En ese caso, la función debe escribirse en términos de y en lugar de x , y la altura del disco será d y en lugar de d x . Un sólido también se pueden crear mediante la revolución de una función en torno a cualquier otro eje de revolución además de la x y la y eje.

El método de la lavadora

Similar al método del disco es el método de la lavadora. Si tiene dos funciones g ( x ) yh ( x ) y las rotó ambas alrededor del mismo eje, creará arandelas o anillos en lugar de discos. El proceso general seguirá siendo el mismo con la excepción de que el radio de la arandela será g ( x ) – h ( x ).

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. El método del disco es el proceso de encontrar el volumen de un objeto dividiendo ese objeto en muchos cilindros / discos pequeños y luego sumando los volúmenes de estos pequeños discos. El radio de un cilindro viene dado por una función f (x) y la altura es el cambio en x , y si encontramos el límite del volumen cuando el cambio en x va a cero y el número de discos va hacia el infinito, entonces tendremos el volumen real del objeto.

Para encontrar el volumen de un sólido creado cuando una función g ( x ) desde el punto a al punto b se gira alrededor del eje x , necesitará encontrar la anti-derivada de g ( x ) ^ 2. A continuación, sustituir b y una a este anti-derivada y restarlos. Luego multiplica tu respuesta por 3,14.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador