Convergencia y divergencia de una serie: definición y ejemplos

Serie de convergencia / divergencia

La paradoja de un viajero

Digamos que un viajero conduce un automóvil por una carretera de una milla de largo. Al principio, el automóvil se mueve a 60 millas por hora. Después de un segundo, el automóvil reduce inmediatamente su velocidad a 30 millas por hora. Después de dos segundos, el automóvil reduce instantáneamente su velocidad de 30 millas por hora a 15 millas por hora. De manera más general, si v (t) es la velocidad del automóvil en el tiempo t , entonces

Aquí es donde n = 1, 2, 3, 4, 5, ……

En la fórmula, el tiempo t está en segundos, la velocidad v (t) está en pies por segundo y v n es la distancia recorrida después de n segundos.

La distancia recorrida después de n segundos toma la forma de una suma geométrica . Esta suma se simplifica a

Al pasar esta ecuación, que hemos llamado (1), al límite cuando n tiende a infinito, podemos ver que la distancia del automóvil se acercará a 176 pies cuando el tiempo t tiende a infinito. Sin embargo, dado que la expresión dada en (1) es estrictamente menor que 176, el automóvil nunca llegará al final del camino. En cambio, el coche se ralentiza tan drásticamente que gravita hacia el marcador de 176 pies. El marcador se ve como un punto de atracción a lo largo del camino de una milla. Parece contrario a la intuición que, aunque el automóvil nunca reduce su velocidad a cero, nunca se acerca a llegar al final de la carretera, ¡ni siquiera es una trigésima parte de la distancia!

La figura 1 ilustra la progresión de viaje del automóvil. El primer automóvil representa la posición en cero segundos, el segundo automóvil en un segundo, el tercero en dos segundos, y así sucesivamente (de izquierda a derecha). Como es evidente, los incrementos de un segundo disminuyen con el tiempo. También podemos ver esto desde la identidad.

La moraleja de esta historia es que una suma que tiene un número infinito de términos puede terminar siendo finita. Hemos dado un ejemplo de una serie geométrica convergente, haciendo que el concepto de una serie convergente sea más preciso.

El teorema

Para empezar, definimos el teorema, que llamaremos ecuación 2:

donde r no es igual a 0 si el límite de una suma parcial existe como un número real. Escribimos la definición de una serie infinita, como esta, y decimos que la serie, como la de aquí en la ecuación 3, converge.

Si el límite antes mencionado no existe, la misma serie diverge. Se denota como una suma infinita, ya sea convergente o divergente.

Las sumas parciales en la ecuación 2 son sumas geométricas, y esto se debe a que los términos subyacentes en las sumas forman una secuencia geométrica . La respectiva serie infinita se llama entonces serie geométrica .

¿Qué valores de r convergen la serie dada en (3)? Resulta que existe una fórmula de atajo conveniente para las sumas parciales definidas en (2). La fórmula se puede probar directamente por inducción, y por esa razón, omitimos la prueba aquí.

Aquí está el lema: fórmula de suma geométrica en la ecuación 4:

Para n = 0, 1, 2, 3, 4, ….

Como consecuencia inmediata de la ecuación 4, llegamos al teorema de la serie geométrica . Este teorema da el valor de r para el cual la serie converge y diverge.

Primero, dejamos que las sumas parciales se definan como en (2) y la respectiva serie infinita definida como en (3). Entonces, tenemos los siguientes resultados:

En este caso, obtenemos nuestra fórmula de serie geométrica y el caso ii:

En este segundo caso, obtenemos el siguiente valor de suma resultante en el caso ii y la oscilación divergente en el caso iii.

En este tercer y último caso, a la serie no se le puede asignar ningún valor, ya que el límite de las sumas parciales no existe ni siquiera en el sentido extendido de números reales. El teorema de la convergencia monótona asegura la existencia de los límites en los casos i y ii (como números reales extendidos).

La paradoja de un viajero: revisitada

Ahora generalizamos el ejemplo anterior al siguiente. Supongamos que para n = 1, 2, 3, 4, 5, …. usamos la forma general de la función de velocidad donde r no es igual a 0:

Luego, por (4), la posición después de n segundos es

Al usar el hecho de que la velocidad es constante entre segundos enteros sucesivos, la posición en el tiempo t se ve definida por la fórmula que aparece aquí:

Tenga en cuenta que r negativo permite que el automóvil se mueva en reversa. Luego, dependiendo de si el valor absoluto de r es menor que uno, la posición del vehículo se afinará en una ubicación fija o exhibirá distancias cada vez mayores desde la ubicación inicial. Puedes ver cómo se desarrolla todo esto con las tablas y figuras que aparecen. No es necesario que memorice todo el contenido de estas tablas y figuras; solo es importante que vea todos los datos en un solo lugar:

Aquí está la Tabla 1a en la que r = 0.5:

Aquí está la Figura 2a, en la que r = 0.5:

Ahora, aquí está la Tabla 1b, en la que r = -0.5:

Ahora, aquí está la Figura 2b, en la que r = -0.5:

Ahora, aquí está la Tabla 1c, en la que r = -2:

Ahora, aquí está la Figura 2c, en la que r = -2:

Ahora debería comprender y ser capaz de ver realmente cómo se pueden desarrollar tanto la convergencia como la divergencia de una serie.

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a revisar lo que hemos aprendido. Aprendimos que una serie geométrica es simplemente una razón constante entre términos que se suceden. Obtuvimos nuestra comprensión de una serie geométrica al estudiar el movimiento de un vehículo a lo largo de un eje unidimensional. Las sumas parciales forman una secuencia de números reales que tiende a un número real cuando convergen. Si esto no ocurre, la serie geométrica diverge. La serie puede divergir de dos formas diferentes, y esto depende de si r es positivo o negativo.

También aprendimos que el teorema de la serie geométrica da el valor de r para el cual la serie converge y diverge. El concepto de convergencia / divergencia se extiende a una clase más amplia de series. La serie geométrica es una de las pocas series en las que tenemos una fórmula cuando convergente que veremos en secciones posteriores.