Rodrigo Ricardo

Convergencia y divergencia de una serie: definición y ejemplos

Publicado el 24 noviembre, 2020

Serie de convergencia / divergencia

La paradoja de un viajero

Digamos que un viajero conduce un automóvil por una carretera de una milla de largo. Al principio, el automóvil se mueve a 60 millas por hora. Después de un segundo, el automóvil reduce inmediatamente su velocidad a 30 millas por hora. Después de dos segundos, el automóvil reduce instantáneamente su velocidad de 30 millas por hora a 15 millas por hora. De manera más general, si v (t) es la velocidad del automóvil en el tiempo t , entonces

Velocidad en cada subintervalo

Aquí es donde n = 1, 2, 3, 4, 5, ……

En la fórmula, el tiempo t está en segundos, la velocidad v (t) está en pies por segundo y v n es la distancia recorrida después de n segundos.

Distancia recorrida después de n segundos

La distancia recorrida después de n segundos toma la forma de una suma geométrica . Esta suma se simplifica a

Simplificación de distancia

Al pasar esta ecuación, que hemos llamado (1), al límite cuando n tiende a infinito, podemos ver que la distancia del automóvil se acercará a 176 pies cuando el tiempo t tiende a infinito. Sin embargo, dado que la expresión dada en (1) es estrictamente menor que 176, el automóvil nunca llegará al final del camino. En cambio, el coche se ralentiza tan drásticamente que gravita hacia el marcador de 176 pies. El marcador se ve como un punto de atracción a lo largo del camino de una milla. Parece contrario a la intuición que, aunque el automóvil nunca reduce su velocidad a cero, nunca se acerca a llegar al final de la carretera, ¡ni siquiera es una trigésima parte de la distancia!

La figura 1 ilustra la progresión de viaje del automóvil. El primer automóvil representa la posición en cero segundos, el segundo automóvil en un segundo, el tercero en dos segundos, y así sucesivamente (de izquierda a derecha). Como es evidente, los incrementos de un segundo disminuyen con el tiempo. También podemos ver esto desde la identidad.

Incremento para series geométricas

La moraleja de esta historia es que una suma que tiene un número infinito de términos puede terminar siendo finita. Hemos dado un ejemplo de una serie geométrica convergente, haciendo que el concepto de una serie convergente sea más preciso.

El teorema

Para empezar, definimos el teorema, que llamaremos ecuación 2:

Sumas parciales definidas

donde r no es igual a 0 si el límite de una suma parcial existe como un número real. Escribimos la definición de una serie infinita, como esta, y decimos que la serie, como la de aquí en la ecuación 3, converge.

Límite de suma parcial

Definición de serie infinita

Series geométricas

Si el límite antes mencionado no existe, la misma serie diverge. Se denota como una suma infinita, ya sea convergente o divergente.

Las sumas parciales en la ecuación 2 son sumas geométricas, y esto se debe a que los términos subyacentes en las sumas forman una secuencia geométrica . La respectiva serie infinita se llama entonces serie geométrica .

¿Qué valores de r convergen la serie dada en (3)? Resulta que existe una fórmula de atajo conveniente para las sumas parciales definidas en (2). La fórmula se puede probar directamente por inducción, y por esa razón, omitimos la prueba aquí.

Aquí está el lema: fórmula de suma geométrica en la ecuación 4:

Para n = 0, 1, 2, 3, 4, ….

Fórmula de suma geométrica n finita

Como consecuencia inmediata de la ecuación 4, llegamos al teorema de la serie geométrica . Este teorema da el valor de r para el cual la serie converge y diverge.

Primero, dejamos que las sumas parciales se definan como en (2) y la respectiva serie infinita definida como en (3). Entonces, tenemos los siguientes resultados:

caso yo

En este caso, obtenemos nuestra fórmula de serie geométrica y el caso ii:

Fórmula de series geométricas

Caso ii

En este segundo caso, obtenemos el siguiente valor de suma resultante en el caso ii y la oscilación divergente en el caso iii.

Valor de la suma del resultado del caso ii

caso iii oscilación divergente

En este tercer y último caso, a la serie no se le puede asignar ningún valor, ya que el límite de las sumas parciales no existe ni siquiera en el sentido extendido de números reales. El teorema de la convergencia monótona asegura la existencia de los límites en los casos i y ii (como números reales extendidos).

La paradoja de un viajero: revisitada

Ahora generalizamos el ejemplo anterior al siguiente. Supongamos que para n = 1, 2, 3, 4, 5, …. usamos la forma general de la función de velocidad donde r no es igual a 0:

Forma general de función de velocidad

Luego, por (4), la posición después de n segundos es

Distancia después de n segundos

Al usar el hecho de que la velocidad es constante entre segundos enteros sucesivos, la posición en el tiempo t se ve definida por la fórmula que aparece aquí:

Función de desplazamiento

Tenga en cuenta que r negativo permite que el automóvil se mueva en reversa. Luego, dependiendo de si el valor absoluto de r es menor que uno, la posición del vehículo se afinará en una ubicación fija o exhibirá distancias cada vez mayores desde la ubicación inicial. Puedes ver cómo se desarrolla todo esto con las tablas y figuras que aparecen. No es necesario que memorice todo el contenido de estas tablas y figuras; solo es importante que vea todos los datos en un solo lugar:

Aquí está la Tabla 1a en la que r = 0.5:

Tiempo transcurrido (segundos)Distancia recorrida (pies)Incremento de distancia (retraso de una diferencia)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
88
132
154
165
170,5
173,25
174,625
175,3125
175,65625
175.828125
88
44
22
11
5,5
2,75
1,375
0,6875
0,34375
0,171875

Aquí está la Figura 2a, en la que r = 0.5:

Gráfico que muestra r = 0.5

Ahora, aquí está la Tabla 1b, en la que r = -0.5:

Tiempo transcurrido (segundos)Distancia recorrida (pies)Incremento de distancia (retraso de una diferencia)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
88
44
66
55
60.5
57.75
59.125
58.4375
58.78125
58.609375
88
-44
22
-11
5.5
-2.75
1,375
-0,6875
0,34375
-0.171875

Ahora, aquí está la Figura 2b, en la que r = -0.5:

gráfico para r = -0,5

Ahora, aquí está la Tabla 1c, en la que r = -2:

Tiempo transcurrido (segundos)Distancia recorrida (pies)Incremento de distancia (retraso de una diferencia)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
88
-88
264
-440
968
-1848
3784
-7480
15048
-30008
88
-176
352
-704
1.408
-2.816
5.632
-11.264
22.528
-45.056

Ahora, aquí está la Figura 2c, en la que r = -2:

gráfico que muestra los resultados de r siendo -2

Ahora debería comprender y ser capaz de ver realmente cómo se pueden desarrollar tanto la convergencia como la divergencia de una serie.

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a revisar lo que hemos aprendido. Aprendimos que una serie geométrica es simplemente una razón constante entre términos que se suceden. Obtuvimos nuestra comprensión de una serie geométrica al estudiar el movimiento de un vehículo a lo largo de un eje unidimensional. Las sumas parciales forman una secuencia de números reales que tiende a un número real cuando convergen. Si esto no ocurre, la serie geométrica diverge. La serie puede divergir de dos formas diferentes, y esto depende de si r es positivo o negativo.

También aprendimos que el teorema de la serie geométrica da el valor de r para el cual la serie converge y diverge. El concepto de convergencia / divergencia se extiende a una clase más amplia de series. La serie geométrica es una de las pocas series en las que tenemos una fórmula cuando convergente que veremos en secciones posteriores.

¡Puntúa este artículo!