Rodrigo Ricardo

Serie Maclaurin: definición, fórmula y ejemplos

Publicado el 24 noviembre, 2020

Serie Taylor

En matemáticas, cuando llegamos a las funciones muy complicadas, tenemos otras funciones que nos ayudan a aproximar nuestras funciones más complicadas, ayudándonos así a resolverlas. Una de esas aproximaciones se llama serie de Taylor . La serie de Taylor de una función particular es una aproximación de la función sobre un punto ( a ) representado por una expansión en serie compuesta por las derivadas de la función. La fórmula para la serie de Taylor es esta:

serie maclaurin

Al observar la expansión, vemos que nuestro primer término es la función en el punto a , el segundo término es la primera derivada de la función en el punto a multiplicada por ( xa ), luego el tercer término es la segunda derivada de la función sobre un factorial 2 multiplicado por ( xa ) 2 . Podemos ver emerger un patrón. Luego, cada término sucesivo se encuentra siguiendo el patrón.

Usamos esta fórmula encontrando nuestras derivadas y luego conectando esas derivadas en la fórmula donde las requiera. Cada uno de nuestros derivados se evalúa en el punto a . Conectamos nuestro valor a donde la fórmula también lo requiere.

Serie Maclaurin

Surge un caso especial cuando tomamos la serie de Taylor en el punto 0. Cuando hacemos esto, obtenemos la serie de Maclaurin . La serie de Maclaurin es la serie de Taylor en el punto 0. La fórmula para la serie de Maclaurin es la siguiente:

serie maclaurin

Usamos esta fórmula de la misma manera que usamos la fórmula de la serie de Taylor. Encontramos las derivadas de la función original y usamos esas derivadas en nuestra serie cuando lo requiere. La única diferencia es que ahora estamos usando estrictamente el punto 0. Todas nuestras derivadas se evalúan en el punto 0.

Veamos algunos ejemplos de la serie Maclaurin en funcionamiento.

e x

¿Cuál es la serie de Maclaurin para la función f (x) = e x ?

Para encontrar la serie de Maclaurin para esta función, primero encontramos las diversas derivadas de esta función. Esta función en particular es realmente una función muy interesante. De hecho, todos sus derivados son él mismo. Entonces, la primera derivada es e x , la segunda derivada es e x , y así sucesivamente. Dado que estamos viendo la serie de Maclaurin, necesitamos evaluar esta función e x en el punto 0. Dado que todas las derivadas son iguales, evaluamos e x en x = 0. Obtenemos e 0 = 1. Entonces todas nuestras derivadas será igual a 1. Nuestra serie de Maclaurin se convierte en esto:

serie maclaurin

Lo que hicimos fue insertar 1 para todas las derivadas, ya que todas nuestras derivadas evaluadas en el punto 0 son iguales a 1. Las dos últimas líneas son nuestra respuesta. La última línea es la serie escrita en forma de suma y la línea anterior es la serie expandida.

pecado x

Encuentre la serie de Maclaurin para f (x) = sin x :

Para encontrar la serie de Maclaurin para esta función, comenzamos de la misma manera. Encontramos las diversas derivadas de esta función y luego las evaluamos en el punto 0. Obtenemos estas para nuestras derivadas:

Derivado En el punto 0
f (x) = sen x f (0) = 0
f ‘(x) = cos x f ‘(0) = 1
f ” (x) = -sin x f ” (0) = 0
f ” ‘(x) = -cos x f ” ‘(0) = -1
f ” ” (x) = sen x f ” ” (0) = 0

Vemos nuestras derivadas siguiendo un patrón de 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, etc. Los números 0, 1, 0 y -1 siguen repitiéndose .

Al conectarlos a nuestra fórmula de la serie Maclaurin, obtenemos esto:

serie maclaurin

Nuevamente, nuestras dos últimas líneas son la respuesta, la última línea es nuestra respuesta escrita en forma de suma, y ​​la línea anterior es nuestra serie expandida. Como tenemos los ceros, cuando escribimos nuestra respuesta, saltamos los ceros.

cos x

Encuentre la serie de Maclaurin para f (x) = cos x :

¿Qué hacemos primero? Encontramos las derivadas y evaluamos en el punto x = 0.

Derivado En el punto 0
f (x) = cos x f (0) = 1
f ‘(x) = -sin x f ‘(0) = 0
f ” (x) = -cos x f ” (0) = -1
f ” ‘(x) = sen x f ” ‘(0) = 0
f ” ” (x) = cos x f ” ” (0) = 1

Al igual que nuestra función seno tiene un patrón para las derivadas, nuestra función coseno también tiene un patrón. Vemos que tenemos un patrón repetitivo de 1, 0, -1 y 0.

Conectando nuestros valores derivados en nuestra fórmula de la serie Maclaurin, obtenemos esto:

serie maclaurin

Dado que aquí también tenemos ceros, cuando escribimos nuestra respuesta, también saltamos los ceros. Como puede ver, nuestra serie omite cualquier otro término al igual que la serie de función seno de Maclaurin.

1 / (1 – x )

¿Cuál es la serie de Maclaurin para la función f (x) = 1 / (1 – x ):

Primero, encontramos las derivadas y luego las evaluamos en x = 0.

Derivado En el punto 0
f (x) = 1 / (1 – x ) f (0) = 1
f ‘(x) = (1 – x ) -2 f ‘(0) = 1
f ” (x) = 2 (1 – x ) -3 f ” (0) = 2
f ” ‘(x) = 6 (1 – x ) -4 f ” ‘(0) = 6
f ” ” (x) = 24 (1 – x ) -5 f ” ” (0) = 24

Al conectarlos a nuestra fórmula, obtenemos esto:

serie maclaurin

¡Y hemos terminado!

(x + 2) 3

Todas las funciones que hemos visto hasta ahora tienen una serie que continúa. Sin embargo, habrá funciones que tengan una serie de Maclaurin finita. Mira este ejemplo.

Encuentre la serie de Maclaurin para la función (x + 2) 3 :

Primero, tenemos que encontrar las derivadas y evaluar en el punto x = 0.

Derivado En el punto 0
f (x ) = ( x + 2) 3 f (0) = 8
f ‘(x) = 3 ( x + 2) 2 f ‘(0) = 12
f ” (x) = 6 ( x + 2) f ” (0) = 12
f ” ‘(x) = 6 f ” ‘(0) = 6
f ” ” (x) = 0 f ” ” (0) = 0

Mirando esto, vemos que comenzando con la cuarta derivada y luego, todas las derivadas son 0. Todos nuestros términos de la serie de Maclaurin desde la cuarta derivada en adelante serán 0. Nuestra serie de Maclaurin tiene entonces un número finito de términos.

serie maclaurin

Nuestra serie Maclaurin solo tiene 4 términos. Nuevamente, es porque nuestras derivadas se evalúan a 0 después de cierto punto.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. La serie de Taylor de una función particular es una aproximación de la función sobre un punto ( a ) representado por una expansión en serie compuesta por las derivadas de la función. La fórmula para la serie de Taylor es esta:

serie maclaurin

La serie de Maclaurin es la serie de Taylor en el punto 0. La fórmula para la serie de Maclaurin es la siguiente:

serie maclaurin

Para usar estas fórmulas, encontramos las derivadas y luego las evaluamos en el punto dado. Luego conectamos estos derivados en la fórmula. A veces, obtendremos una serie infinita que podemos escribir usando notación sumatoria. Otras veces, obtenemos una serie finita con solo unos pocos términos.

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