Definición
Dada una función f ( x ), la integral indefinida (o antiderivada) de f ( x ) es una función F ( x ) cuya derivada es igual af ( x ). Esto significa que F ‘ ( x ) = f ( x ).
Introduzcamos una notación más conveniente para representar este concepto. Aquí es donde entra ese símbolo de S larga de aspecto divertido .
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Ese símbolo, junto con su socio, el diferencial ( dx , dt , dy o similar, dependiendo de las variables del problema), son instrucciones para encontrar la integral indefinida (antiderivada) de una función f .
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La C se llama constante de integración . Es solo una constante indeterminada que se agrega a la antiderivada. ¿Pero por qué? Puede recordar de las reglas de diferenciación que la derivada de cualquier constante es simplemente 0. Por eso escribimos + C porque no hay forma de saber de antemano cuál era realmente el término constante en la función original.
Ahora bien, si la definición aún no parece clara, no se preocupe. En las próximas secciones, veremos qué significa todo esto. Primero, un ejemplo motivador.
Resumen de la Halajá, la Torá y las reglas
Posición frente a velocidad
Supongamos que hace un viaje en su automóvil y se conoce su rapidez (o velocidad ). Tal vez su amigo en el asiento del pasajero haya estado mirando su velocímetro y haya anotado la velocidad cada hora durante un total de cuatro horas.
| Tiempo ( t ), en horas | Velocidad ( v ), en mph. |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 20 |
| 2 | 40 |
| 3 | 60 |
| 4 | 80 |
Según la tabla, parece que v = 20 t mph. ¿Podemos averiguar qué tan lejos hemos viajado? Claro que podemos: ¡con cálculo! Más específicamente, usaremos una integral indefinida.
El concepto clave del cálculo es que la velocidad es la derivada de la posición. Es decir, v ( t ) = s ‘ ( t ). Entonces s es una antiderivada de v . ¿Puedes adivinar una función s ( t ) cuya derivada será 20 t ? Si adivinaste s = 10 t ^ 2, date una palmada en la espalda.
Técnicamente, también deberíamos incluir la constante de integración, por lo que la forma más general en la que podríamos expresar la función de posición s ( t ) sería:
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Sin embargo, podemos ignorar con seguridad la C para un problema como este porque solo nos interesa el cambio de posición.
Escritura Formal: definición, reglas y ejemplos
Ahora, respondamos la pregunta original: ¿Hasta dónde viajaron usted y su amigo? Hagamos un seguimiento de la posición introduciendo el valor t correspondiente en la función de posición s ( t ).
| Tiempo ( t ), en horas | Velocidad ( v = 20 t ), en mph. | Posición ( s = 10 t ^ 2), en millas |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 20 | 10 |
| 2 | 40 | 40 |
| 3 | 60 | 90 |
| 4 | 80 | 160 |
El viaje duró t = 4 horas, por lo que la distancia total fue s = 10 (4) ^ 2 = 160 millas.
Reglas de antiderivadas
Encontrar antiderivadas en general es un asunto complicado. Sin embargo, ciertas reglas pueden guiarnos. Dos de las reglas más importantes son la regla del múltiplo constante y la regla de la potencia para las antiderivadas.
La regla del múltiplo constante establece que cualquier múltiplo constante puede extraerse de la integral, mientras que la regla de la potencia nos dice cómo integrar expresiones que son potencias de la variable, como x ^ 2, t ^ 3 yz ^ (- 1 / 2).
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De hecho, estas dos reglas fueron las que usamos para encontrar la antiderivada de 20 t .
Mut’ah: Orígenes, reglas y controversias
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La regla de la suma es otra herramienta extremadamente útil.
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Hay muchas otras reglas antiderivadas, tantas que, de hecho, no tenemos espacio para escribirlas aquí. Eso es para otras lecciones.
Ejemplos
Hagamos algunos ejemplos juntos. Intente identificar dónde usamos cada regla, pero también repasaremos cada paso después. Es posible que desee consultar una tabla de fórmulas integrales, que se encuentra en la mayoría de los libros de texto de cálculo o en línea. Comencemos con esta ecuación:
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Primero, usamos la regla de la suma, luego la regla del múltiplo constante, luego la regla de la potencia (con n = 3) y la regla para la antiderivada de cos x . Luego límpialo un poco.
Ahora intentemos este:
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Usemos la regla de la suma aquí nuevamente, luego reescribamos la raíz cuadrada como una potencia de 1/2 (exponentes fraccionarios del álgebra). Aquí verá que el primer término usa la regla antiderivada para exponenciales de la forma e ^ ( kx ) es (1 / k ) e ^ ( kx ). El segundo término usa la regla de la potencia (con n = 1/2). El tercer término usa la regla para la antiderivada de una constante. Luego limpia.
Quizás algunas de estas reglas de antiderivadas que usamos en los ejemplos parecieron surgir de la nada. Pero cuanta más experiencia obtenga con integrales indefinidas, más descubrirá y utilizará las reglas adecuadas.
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido. Una integral indefinida (o antiderivada) de una función f es una función F cuya derivada es igual af . Para un ejemplo práctico, si se da una función de velocidad v , entonces la integral indefinida de v será la función de posición, s . La notación integral, asumiendo F ‘ ( x ) = f ( x ), es:
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La C se llama constante de integración y es simplemente parte de la forma de la antiderivada. Existen ciertas reglas que nos ayudan a encontrar integrales indefinidas, que incluyen:
- La regla del múltiplo constante establece que cualquier múltiplo constante puede extraerse de la integral.
- La regla de la potencia nos dice cómo integrar expresiones que son potencias de la variable.
- La regla de la suma es la siguiente:
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