División sintética: definición, pasos y ejemplos

¿Qué es la división sintética?

¡A todos nos encantan los atajos! La división sintética es un método abreviado para dividir un polinomio por un divisor simple de la forma ( x – n ). El divisor debe tener esa forma para que funcione la división sintética. Si no es así, tendrá que utilizar una división larga.

¿Por qué querríamos dividir polinomios de todos modos? Si un polinomio p ( x ) se puede dividir por ( x – n ) sin resto, entonces x = n debe ser cero o la raíz de p ( x ). Es decir, una solución a la ecuación p ( x ) = 0. Veremos cómo funciona eso en algunos ejemplos más adelante.

La división sintética usa solo los coeficientes de un polinomio, o las constantes delante de cada término x , por lo que ahorra una tonelada de escritura en comparación con el uso de la división larga de polinomios.

Cómo hacer división sintética

Hay un orden específico de pasos en la división sintética; Una vez que obtenga el patrón, ¡estará listo y funcionando! La mejor forma de explicar estos pasos es mediante un ejemplo. Usemos la división sintética para resolver este problema:

(3 x 3 – x – 7) / ( x – 2)

Paso 1

Si el divisor es ( x – n ), escribe n y luego dibuja una línea vertical a la derecha. En este ejemplo, n = 2, entonces escribiríamos:

2 |

Paso 2

Ponga los coeficientes de cada término x a la derecha de la línea vertical. Comience con el coeficiente principal , es decir, el coeficiente del término de mayor potencia, luego coloque los coeficientes de cada término de grado inferior en orden descendente.

Es muy importante colocar un número para cada grado, por lo que si un término en particular x d no aparece, debe colocar un 0 en ese lugar. En nuestro ejemplo, podríamos decir:

3 x 3 – x – 7 = 3 x 3 + 0 x 2 + (-1) x + (-7)

Entonces, la primera línea de su trabajo de división sintética debería verse así:

2 | 3 0 -1 -7

Paso 3

Dibuja una línea horizontal debajo de los coeficientes, dejando una fila vacía debajo de los coeficientes para el trabajo.

Paso 4

¡Traiga el primer coeficiente por debajo de la línea horizontal, que es el paso más fácil de todos!

Paso 5

Multiplica el número divisor n por el número debajo de la línea horizontal y coloca el resultado sobre la línea debajo del siguiente coeficiente. En nuestro ejemplo de ejecución, 2 * 3 = 6, que va justo debajo del 0.

Paso 6

Agrega la columna para obtener el siguiente coeficiente en tu respuesta. En nuestro ejemplo, sería 0 + 6 = 6. Este nuevo número va por debajo de la línea horizontal.

Paso 7

Repita los pasos 5 y 6, llenando cada columna de izquierda a derecha hasta llegar al final de los coeficientes. ¿Quieres ver cómo funcionan el resto de los pasos?

Encierre en un círculo o marque de alguna manera la última suma en la columna de la derecha. Ese número es el resto , o el número que queda después de dividir.

Los números debajo de la línea horizontal que no están encerrados en un círculo son los coeficientes de su respuesta, el cociente . Cada coeficiente pertenece a un término x que tiene exactamente 1 grado menos que el coeficiente correspondiente por encima de él. Si hubo un resto distinto de cero, diga r , luego vire + r / ( x – n ) hasta el final de su cociente.

En nuestro ejemplo, el término principal tiene grado 3, por lo que el cociente debe comenzar con un grado menos, un término x 2 . La respuesta final, incluido el cociente y el resto, debe escribirse de la siguiente manera:

(3 x 3 – x – 7) / ( x – 2) = (3 x 2 + 6 x + 11 + 15) / ( x – 2)

Otro ejemplo de división sintética

¡La práctica hace la perfección! Trabajemos juntos en otro ejemplo.

Dividir (3 x 4 – 2 x 2 + 4) / ( x + 1).

Tenga en cuenta que al primer polinomio, el dividendo , le faltan dos términos, x 3 y x . Por tanto, los coeficientes en orden descendente de grado son: 3, 0, -2, 0, 4. Además, n = -1 porque ( x + 1) = ( x – (-1)). La primera fila tiene este aspecto:

-1 | 3 0-2 0 4

Aquí hay una imagen de la tabla terminada y un esquema de los pasos utilizados para crearla.

• Derriba los 3
• Multiplicar (-1) * 3 = -3
• Sumar 0 + (-3) = -3
• Multiplicar (-1) * (-3) = 3
• Sumar (-2) + 3 = 1
• Multiplicar (-1) * 1 = -1
• Sumar 0 + (-1) = -1
• Multiplicar (-1) * (-1) = 1
• Sumar 4 + 1 = 5

Dado que el dividendo tiene un grado 4, el cociente debe tener un grado 3. Recuerde, la última columna muestra el resto. La respuesta final es:

3 x 3 – 3 x 2 + x – 1 + 5 / ( x + 1)

Encontrar raíces

Si no hay resto después de la división polinomial, p ( x ) / ( x – n ), entonces sabes que ( x – n ) es un factor de p ( x ), y por esa razón, x = n es una raíz del polinomio.

Por ejemplo, sea p ( x ) = x 3 – 3 x 2 – 4 x + 12. Resulta que x = 1 no es una raíz, porque hay un resto distinto de cero en la división sintética:

Sin embargo, ¡ x = 2 es definitivamente una raíz!

Resumen de la lección

La división sintética es un método abreviado para dividir polinomios y encontrar los ceros del polinomio. El divisor debe tener la forma ( x – n ). Los pasos se pueden resumir como:

1. Multiplica n por el coeficiente principal (la constante delante del término x para la potencia más alta) del dividendo , el polinomio por el que estás dividiendo ( x – n ). Eso le dará el coeficiente principal del cociente , el polinomio en su respuesta. La mayor potencia de x en el cociente siempre será uno menos que la mayor potencia de x en el dividendo.
2. Toma el resultado de 1 y súmalo al coeficiente del término x de la siguiente potencia más alta en el dividendo.
3. Multiplica el resultado de 2 por n . Eso le dará el coeficiente del término x de la siguiente potencia más alta en el cociente.
4. Toma el resultado de 3 y súmalo al coeficiente del término x de la siguiente potencia más alta en el dividendo.
5. Repita 3 y 4 hasta la constante sin término x en el dividendo.
6. La última vez que realices 3 y 4, el resultado será el resto. Si el resto resulta ser 0, entonces ( x – n ) es un factor del dividendo y n es una raíz del dividendo, un valor de x que da como resultado que el polinomio sea igual a 0.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador