Método de multiplicadores de Lagrange y ejemplos

Método del multiplicador de Lagrange

Tu amigo cultiva y vende plantas de hibisco azul. Conoce la relación de costos de dos métodos de cultivo de plantas. ¿Cuántas plantas debería cultivar con cada método para cumplir con una solicitud de pedido y minimizar el costo?

Planta de hibisco.

Esta pregunta es similar a los problemas mínimos y máximos de cálculo, pero tenemos más información que se puede expresar como ecuaciones. El método del multiplicador de Lagrange utiliza estas ecuaciones y una constante de proporcionalidad para resolver este tipo de problemas de mínimos y máximos.

El método

Volviendo al hibisco, veamos cómo usamos el método del multiplicador de Lagrange para minimizar el costo. Digamos que la cantidad solicitada es de 300 plantas. Cultivamos x plantas usando un método y y plantas con el otro. La ecuación de restricción es g = x + y = 300. Una ecuación con dos signos iguales es una forma conveniente de escribir tres formas de la misma ecuación. Podemos tener g = x + y , g = 300 y x + y = 300.

La relación de costo sugerida es C = x ^ 2 + 2 y ^ 2. A esto se le llama ecuación objetiva . Un buen nombre: el objetivo es encontrar la x y la y que reduzcan al mínimo C. Hay muchos factores que influyen en la ecuación objetivo. Todos los factores como el precio de las semillas, los gastos de envío, la cantidad de fertilizante,… se agrupan en la ecuación C = x ^ 2 + 2 y ^ 2.

Hasta ahora, tenemos dos ecuaciones: una ecuación de restricción gy una ecuación objetiva C:

Tomamos derivadas parciales con respecto a x e y de cada ecuación. La derivada parcial es la derivada habitual, pero una letra es la variable mientras que todo lo demás es constante. La derivada parcial de g con respecto ax , escrita como g x , es la derivada de x + y con x tratada como la variable: y como una constante. Por lo tanto, g x = 1 + 0 = 1. Asimismo, calculamos g y , C x y C y .

Escribamos las cuatro derivadas parciales: g x = 1, g y = 1, C x = 2 x y C y = 4 y . ¿Ves cómo C y = 4 y ? Diferenciamos x ^ 2 + 2 y ^ 2 con y como variable y x como constante. La derivada de la constante x ^ 2 es cero. La derivada de 2 y ^ 2 es 2 (2) y = 4 y .

Hasta ahora, tenemos dos ecuaciones, gy C, y las derivadas parciales de gy C con respecto a x e y . Las derivadas parciales son gradientes que describen cómo cambia una cantidad con xo con y . Para equiparar los gradientes de gy C, escribimos:

La variable λ en las ecuaciones es el ‘multiplicador’ en el ‘método del multiplicador de Lagrange’. Es una constante de proporcionalidad que se usa para igualar los gradientes. Sustituyendo las derivadas parciales en la ecuación C x = λ g x obtenemos 2 x = λ lo que significa x = λ / 2.

Sustituyendo las derivadas parciales en la ecuación C y = λ g y obtenemos 4 y = λ lo que significa y = λ / 4. De la ecuación de restricción x + y = 300 tenemos λ / 2 + λ / 4 = 300. Resolviendo obtenemos λ = 400.

Por lo tanto, x = λ / 2 = 400/2 = 200 ey = λ / 4 = 400/4 = 100. Para minimizar la función objetivo, su amigo cultiva 200 hibiscos con el primer método y 100 con el otro.

Si trazamos la función objetivo en este ejemplo, obtenemos una superficie curva. En la trama se ve x y Y ejes. Vemos la función objetivo en el eje z . Esta superficie curvada tiene un mínimo en x = 0, y = 0. Sin embargo, queremos que la x y y para un mínimo limitado por x + y = 300. La línea roja es la ecuación de restricción acostado en la superficie de la función objetivo. El punto azul es el mínimo para esta línea. Está ubicado en x = 200 e y = 100.

La solución.

El método del multiplicador de Lagrange encontrará un valor extremo si existe. Este valor extremo puede ser máximo o mínimo. Por lo general, verificamos por sustitución o una parcela.

Tu amigo está contento pero tiene otra pregunta.

Otro ejemplo

El espacio del jardín de su amigo es elíptico: se describe mediante la ecuación de restricción g = 4 x ^ 2 + y ^ 2 = 80. Le gustaría construir una caja rectangular para plantas dentro de este espacio utilizando tanto material sobrante como sea posible. Nuestro objetivo es diseñar la caja rectangular de perímetro más grande dentro de la elipse. Su posible solución es ajustar un cuadrado con lados de longitud 8 dando un perímetro de 32:

Una posible solución.

¿Podemos mejorar aplicando el método del multiplicador de Lagrange?

La función objetivo C es el perímetro, que queremos maximizar. Busque una esquina del cuadro en el primer cuadrante. Esta es nuestra x e y . La longitud de la caja es 2 x y el ancho es 2 y . El perímetro es 2 (2 x + 2 y ) que es igual a 4 ( x + y ).

Calculando derivadas parciales: g x = 8 x , g y = 2 y , C x = 4 y C y = 4. Sustituyendo las derivadas parciales en la ecuación C x = λ g x obtenemos 4 = λ8 x lo que significa x = 1 / (2λ). Sustituyendo las derivadas parciales en la ecuación C y = λ g y obtenemos 4 = λ2 y lo que significa y = 2 / λ.

De la ecuación de restricción 4 x ^ 2 + y ^ 2 = 80 tenemos 4 / (2λ) ^ 2 + 4 / λ ^ 2 = 80. Resolviendo obtenemos λ = 1/4. Tomamos la raíz cuadrada positiva ya que los X y Y variables definidas en el primer cuadrante son estrictamente positivos.

Esto nos da x = 1 / (2λ) = 4/2 = 2 e y = 2 / λ = 2 (4) = 8. El perímetro para estos valores es 4 (2 + 8) = 40. Una gráfica de perímetro vs. xo sustituyendo valores por x verifica que hayamos encontrado un máximo.

La mejor solucion.

Nuestro amigo está contento con todos los cálculos matemáticos. Ahora puede ser un buen momento para pedir un precio de descuento máximo en las plantas.

Resumen de la lección

El método del multiplicador de Lagrange utiliza una ecuación de restricción y una ecuación objetiva para encontrar soluciones a problemas mínimos y máximos. El método iguala los gradientes de cada ecuación usando una constante de proporcionalidad llamada multiplicador de Lagrange . Si existe una solución, resolver simultáneamente estas ecuaciones de gradiente con la ecuación de restricción proporciona una solución. La solución se prueba para ver si se ha encontrado un mínimo o un máximo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador