Polinomio de Taylor: fórmula y ejemplos

¿Qué es un polinomio de Taylor?

Empecemos por la definición. Dada una función f , un punto específico x = a (llamado centro) y un entero positivo n , el polinomio de Taylor de f en a , de grado n , es el polinomio T de grado n que mejor se ajusta a la curva y = f ( x ) cerca del punto a , en el sentido de que T y todas sus primeras n derivadas tienen el mismo valor en x = a que f .

Si el centro es 0, entonces T puede llamarse polinomio de Maclaurin .

Aquí aparece la fórmula para encontrar el polinomio de Taylor:

De manera equivalente, si expande la suma, verá algo como esto que aparece aquí:

Ahora sabemos que puede parecer desalentador al principio, pero hay un procedimiento paso a paso para crear un polinomio de Taylor. Siempre que haya tenido mucha experiencia con las derivadas, y si conoce los factores factoriales (¡esa es la i ! En la fórmula), entonces no debería ser demasiado difícil.

Calcular un polinomio de Taylor

Tenga en cuenta que cada término de la fórmula requiere:

1. Un derivado de algún orden. De hecho, la notación pequeña ( i ) en la f significa la derivada de orden i (no significa f elevado a la potencia i , aunque la pequeña ( i ) parece verse como un exponente).
2. Reemplazando el valor dado a en esa derivada.
3. Dividiendo por el número factorial i !. ¡Recuerda que yo ! = yo ( yo – 1) ( yo – 2). . . (2) (1), si i > 0, y, por convención, 0! = 1.
4. Multiplicar por ( x – a ) a la i potencia. Tenga en cuenta que en esta fórmula x es solo una variable desconocida, y la dejamos en la expresión como parte del polinomio.

Una vez que se construye cada término, todo el polinomio de Taylor puede leerse como la suma de esos términos. ¡Veamos esto con un ejemplo!

Ejemplo: Encuentre el polinomio de Taylor de tercer grado para f ( x ) = 4 / x , centrado en x = 1.

Primero, reescribimos 4 / x = 4 x (-1) para que las derivadas sean más fáciles de encontrar. Observe que la tabla que aparece en su pantalla ahora comienza con i = 0.

Por lo tanto, siempre debe comenzar con 0. De hecho, es la parte más fácil de la tabla, porque este término simplemente se reduce a f ( a ). Aquí, a = 1, porque ese es el centro dado.

Entonces la respuesta es: T = 4 – 4 ( x – 1) + 4 ( x – 1) 2 – 4 ( x – 1) 3 .

Otro ejemplo

Probablemente una de las funciones más importantes en cálculo es el exponente natural, e x , o como suele escribirse, exp ( x ). Lo que hace que esta función sea tan especial es que la única función cuya derivada es igual a sí misma es un múltiplo constante de exp ( x ). ¡Este hecho hace que encontrar polinomios de Taylor de exp ( x ) sea bastante fácil!

Así que aquí está nuestro ejemplo: Encuentre el polinomio de Maclaurin de quinto grado para exp ( x ).

Al mirar esta tabla, recuerde que un polinomio de Maclaurin es simplemente un polinomio de Taylor centrado en a = 0.

En muchas situaciones, dejamos la notación factorial como está, por ejemplo, ¡escribiendo 5! en lugar de 120 en la respuesta. Esta ecuación que aparece aquí es la serie de Maclaurin de quinto grado para exp ( x ):

Polinomios de Taylor: funciones

La razón por la que nos interesan los polinomios de Taylor y Maclaurin es que normalmente hacen un buen trabajo al aproximar funciones. Supongamos que tiene una función complicada que es difícil de analizar. Bueno, si pudieras reemplazarlo con un polinomio, con el que normalmente es más fácil trabajar, estarías listo. Además, cuanto mayor sea el grado n , mejor será la aproximación.

Pero, ¿qué tan buena es la aproximación? Veamos cómo se compara la gráfica de exp ( x ) con sus polinomios de Maclaurin de grados hasta 4. Como referencia, aquí están los polinomios de Maclaurin que aparecen en su pantalla ahora mismo:

Polinomios de Maclaurin para Exp (x), hasta grado 4

Gráfico de exp (x) en negro, T_0 (x) en rojo, T_1 (x) en naranja, T_2 (x) en verde, T_3 (x) en azul y T_4 (x) en violeta. A medida que aumenta el grado, el polinomio de Maclaurin se aproxima mejor a exp (x).

¿Qué tal este ejemplo? Utilice un polinomio de Maclaurin de tercer grado para estimar exp (1).

Simplemente ingrese x = 1 y, como puede ver, obtenemos:

No es una mala estimación, ya que exp (1) = 2.718.

Resumen de la lección

Muy bien, repasemos brevemente lo que hemos aprendido. Primero aprendimos que un polinomio de Taylor es el polinomio T de grado n que mejor se ajusta a la curva y = f ( x ) cerca del punto a . También aprendimos que el polinomio de Taylor de n -ésimo grado para una función f , centrada en x = a se encuentra mediante esta fórmula que aparece aquí:

También aprendimos que un polinomio de Maclaurin es solo un polinomio de Taylor con centro 0. Y, finalmente, antes de profundizar en algunos ejemplos, aprendimos que cuanto mayor sea el grado, mejor se aproximará un polinomio de Taylor a la función dada cerca de su centro.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador