Rodrigo Ricardo

Serie Taylor: definición, fórmula y ejemplos

Publicado el 24 noviembre, 2020

¿Qué es la serie Taylor?

La política mundial puede ser complicada. Las economías distantes cambian dramáticamente. Las poblaciones lejanas trasladan sus centros. A veces, es mejor concentrarse en lo que está sucediendo localmente. Lo mismo puede decirse de las expresiones matemáticas complicadas. Al observar el comportamiento localizado de una función, a menudo podemos obtener información asombrosa. Aquí es donde la serie Taylor es realmente útil. En pocas palabras, la serie de Taylor es una representación de una función que puede ayudarnos a hacer matemáticas. Los usos de la serie de Taylor incluyen derivaciones analíticas y aproximaciones de funciones.

Si tenemos una función que podemos diferenciar, entonces podemos expresar esa función como una serie de Taylor con la fórmula que está viendo en su pantalla en este momento.

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Aquí hay algunos comentarios sobre la notación y otros detalles de esta serie. En primer lugar, la derivada podría escribirse como la fórmula que está viendo ahora en su pantalla:

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Esto nos está diciendo que diferenciar con respecto a x y después de sustituir la x variable con el de una variable. No hemos eliminado completamente la variable x ; todavía aparece en la formulación de la serie de Taylor, solo la x en la derivada se reemplaza por a . También hay una notación factorial, que se muestra con el signo de exclamación. ¡Significa, n! = n ( n – 1) ( n – 2) y así sucesivamente. Por ejemplo, 3! = 3 (2) (1) = 6.

Aunque la serie de Taylor tiene un número infinito de términos, a menudo mantenemos solo unos pocos términos. La cantidad de términos que mantenemos se determina conociendo la convergencia de la serie. Básicamente, la convergencia significa que a medida que incluimos más y más términos, la suma de términos no crece sin límites. Es posible que una serie no converja. Analizar cómo y si una serie converge nos dirá los valores de x sobre los que esta serie es válida.

En los ejemplos utilizados en esta lección, le daremos información a esta región de convergencia y no tendremos que determinarla nosotros mismos. El un término en esta fórmula de la serie nos permite compensar el serie. Entonces podemos enfocar la serie en un valor particular en el eje x . Para esta lección, nos referiremos a la de un término como el término de desplazamiento.

Entender el término de compensación

Determinemos la serie de Taylor para una función en particular. A continuación, vamos a trazar algunos términos que ayuda a dar sentido a la de un plazo. Considere la siguiente función:

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De la fórmula de la serie de Taylor vemos que necesitamos derivadas de f ( x ). Para facilitar esto, escribimos lo siguiente:

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Entonces, la primera derivada es:

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Y la segunda derivada de f 2 (x) es igual a:

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Nuestra serie de Taylor para esta función, sobre el punto a , es por tanto la siguiente:

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para valores de x entre -1 y +1.

Digamos que nos gustaría hacer coincidir nuestras curvas en y cerca del punto a = -0.5. En la siguiente gráfica, la línea oscura es la función deseada. La curva coloreada es la suma de solo los primeros tres términos de la serie de Taylor para a = -0,5. Tenga en cuenta que f ( x ) se representa como y en esta figura y en las siguientes:

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Incluso con solo tres términos, vemos que las curvas coinciden muy bien cerca de x = -0,5, pero no tan bien en x = 0. Si queremos una mejor coincidencia en x = 0, dejamos a = 0. El efecto es compensar la serie. Ahora nuestro gráfico se convierte en lo que está viendo en la pantalla ahora:

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Con este cambio, tenemos un partido mucho mejor en x = 0. Por lo tanto, podemos centrarnos en que nos gustaría que el mejor partido a producirse seleccionando el valor de un ser en o cerca de ese punto. La una ubicación = 0 es especial. Existe un interés considerable en la serie de Taylor cerca del origen. Usemos nuestro ejemplo para mostrar por qué esto es cierto. Si volvemos a nuestra serie de Taylor para este ejemplo y dejamos a = 0, obtenemos:

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Este ejemplo es una expresión de aspecto mucho más simple. Esto se llama serie de MacLaurin y es una serie de Taylor evaluada en a = 0. Por lo general, produce una expresión mucho más simple. Esta simplicidad suele ser ventajosa para el trabajo analítico. Por ejemplo, ahora estamos bien equipados para mostrar que la derivada del seno es el coseno.

Serie de Taylor que verifica las derivadas

La derivada de la función seno nos da la función coseno. Esta identidad se puede probar escribiendo primero la serie de Taylor para sin ( x ). Dejaremos a = 0 para simplificar el análisis. Luego diferenciaremos esta serie término por término. La serie resultante será la serie de Taylor para cos ( x ). Para f ( x ) = sin ( x ), podemos preparar nuestro trabajo enumerando algunas derivadas como las que están en su pantalla en este momento:

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Sustituir esta información en nuestra fórmula de la serie de Taylor nos da la fórmula que ahora está viendo en su pantalla, que converge para todos los valores de x :

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Ahora, dejamos a = 0, notando que sin (0) = 0 y cos (0) = 1, que ahora puede ver reflejado en las ecuaciones en su pantalla.

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Para verificar nuestra identidad de derivada trigonométrica, digamos que ya hemos resuelto o se nos ha dado que la serie de Taylor para cos ( x ) puede ser lo que está viendo ahora en su pantalla, que es para todos los valores de x .

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Ahora, diferencia cada término de la serie de Taylor sin ( x ) y observa los resultados:

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Hemos utilizado la serie de Taylor para verificar que la derivada de sin ( x ) es cos ( x ).

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. La serie de Taylor es una expresión en serie matemática para funciones diferenciales. La descripción completa de la expresión de la serie incluye la región de convergencia. Podemos evaluar la serie sobre un valor de x seleccionando un término de compensación a . La serie de Taylor a veces se puede llamar una serie de MacLaurin , que es una serie de Taylor evaluada en a = 0. En esta lección, hemos utilizado la serie de Taylor para aproximar una función y verificar analíticamente una identidad de derivada trigonométrica.

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