¿Qué son las integrales dobles?
La teoría detrás de la integración es larga y compleja, pero debe estar familiarizado con la integración como método para encontrar el área bajo una curva (entre otras aplicaciones importantes). Quizás recuerdes cómo una integral se basa en la aproximación del área usando rectángulos muy delgados. De hecho, la parte dx de la notación integral es solo el ancho de un rectángulo aproximado. Pero, ¿qué pasa con la integración en dimensiones superiores?
Considere el volumen debajo de una superficie con la ecuación z = f ( x , y ). Podemos aproximar este volumen de la misma manera que aproximamos el área, llenando la región con cajas increíblemente delgadas y estrechas. La longitud y el ancho de cada caja se pueden llamar dx y dy, mientras que la altura viene dada por el valor de la función f ( x , y ). Luego, después de sumar los volúmenes de muchas de estas cajas sobre la región R del plano que sirve como base del sólido (y permitiendo dx , dy → 0), obtenemos el volumen exacto.
La notación para este proceso de encontrar el volumen, que se llama integración doble , está representada por la siguiente notación (ver más abajo).
La expresión dA = dy dx se llama elemento de área y representa el área de la base de cada caja pequeña. En el caso de que la región R sea el rectángulo [ a , b ] × [ c , d ], es decir, a ≤ x ≤ b y c ≤ y ≤ d, entonces escribimos los límites de integración en cada símbolo integral, y expanda el elemento de área como se indica.
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Calcular integrales dobles
Si puede hacer una integral simple, entonces puede calcular una integral doble. Este método se llama integración iterada . Simplemente aborde cada integral de adentro hacia afuera. Recuerde, para evaluar una integral, debe encontrar una anti-derivada y luego reemplazar los límites de integración y restar. El único inconveniente añadido aquí es que la primera integral se hace con respecto a la variable y, mientras que x se considera una constante. Trabajemos con un ejemplo para ilustrar el método.
Ejemplo de cálculo 1
Evalúe la integral doble de f ( x , y ) = 9 x ^ 3 y ^ 2 sobre la región R = [1, 3] × [2, 4].
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Ahora, ¿qué pasa con las regiones no rectangulares? Bueno, siempre que R se pueda expresar como la región entre dos curvas, la integración iterada funcionará de maravilla. ¡Veamos un ejemplo en acción!
Ejemplo de cálculo 2
Evalúe la integral doble de f ( x , y ) = x + 3 y sobre la región R limitada por y = x ^ 2 y y = x .
En primer lugar, vamos a encontrar los puntos de intersección de la región R . Estableciendo x ^ 2 = x , encontramos x = 0, 1. Ahora esto nos dice que a = 0 y b = 1 son los límites x para la integral doble. Puede pensar en la función inferior y = x ^ 2 como c, y la función superior y = x como d en la fórmula de doble integral que acabamos de ver.
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Ejemplo de cálculo 3: Encontrar volumen
Como se mencionó en la introducción, las integrales dobles se definen de la manera correcta para calcular el volumen de un sólido bajo una superficie dada z = f ( x , y ), cuya base es una región R dada .
Encuentra el volumen del sólido acotado por x cos ( xy ) y el plano xy , cuya base es el rectángulo [0, π / 2] × [0, π / 2].
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Establezcamos la integral doble y resolvamos para encontrar el volumen.
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Por tanto, el volumen del objeto es V = 1,134 unidades cúbicas.
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido aquí. La notación para este proceso de encontrar volumen se llama integración doble . Debe recordar que si puede hacer una única integral, entonces puede calcular una integral doble, que se llama integración iterada .
Una integral doble es una integral de una función de dos variables f ( x , y ) sobre una región R . Si R = [ a , b ] × [ c , d ], entonces la integral doble se puede hacer mediante integración iterada (integre primero con respecto ay , y luego integre con respecto ax ).
Las notaciones para integrales dobles se muestran nuevamente a continuación.
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La expresión dA = dy dx se llama elemento de área y representa el área de la base de cada bloque pequeño. En el caso de que la región R sea el rectángulo [ a , b ] × [ c , d ], es decir, a ≤ x ≤ b y c ≤ y ≤ d, entonces escribimos los límites de integración en cada símbolo integral, y expanda el elemento de área como se indica.
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