Uso de series de Taylor para aproximar integrales definidas

Aproximación de integrales definidas

Es posible que haya visto cómo representar una función usando la serie de Taylor. Por ejemplo, la serie de Taylor de e x en el punto, x = 0, es 1 + x + x 2 /2! + …. Quizás se pregunte cómo se usa la serie Taylor. Bueno, en esta lección usamos la serie de Taylor para aproximar integrales.

Comenzaremos con una integral fácil para obtener una respuesta y compararla con el enfoque de la serie de Taylor. Luego, pasaremos a algo un poco más desafiante.

Ejemplo 1

Conocemos la integral de cos x . Es sin x + C donde C es una constante.

Si tenemos una integral definida , habrá límites en x y la constante desaparecerá.

¿Qué pasaría si quisiéramos el área bajo la curva de cos x de x = 1.9 ax = 2.1?

La integral nos da el área que se muestra en verde.

La forma habitual de hacer esta integral es:

Esta respuesta tiene una precisión de 3 decimales. El signo negativo significa que el área está debajo del eje x . (Nota: si está evaluando las funciones trigonométricas en su calculadora, asegúrese de que el modo sea en radianes y no en grados).

Ahora, usemos el enfoque de la serie de Taylor para aproximar esta integral. Para el coseno, los dos primeros términos de la serie de Taylor sobre el punto x = a son:

cos x = cos a – ( x – a ) sen a

Hay términos de orden superior, pero mantendremos solo los dos primeros términos.

¿Quieres ver de dónde viene esta serie de Taylor ? En general, la serie de Taylor sobre el punto a es:

Para f ( x ) = cos ( x ), tenemos que calcular el lado derecho,

• f ( a ) = cos ( a ), reemplace x con a
• f ‘( x ) es la primera derivada de f ( x ), la derivada de cos ( x ) es – sin ( x )
• f ‘( a ) es – sin ( x ) con x reemplazado por a , f’ ( a ) = – sin ( a )
• podríamos encontrar más términos, pero tendremos suficiente con solo estos 2 primeros términos

Sustituyendo en el lado derecho y escribiendo ( x – a ) antes del sin ( a ) da los primeros dos términos de la serie de Taylor de cos ( x ) sobre el punto a .

Genial, pero ¿qué deberíamos elegir para un ? Dado que integraremos de x = 1.9 ax = 2.1, una buena elección para a es un número entre estos dos valores de x . Vamos a dejar que un = 2,0. Reemplazando a con 2.0, nos da cos x = cos 2 – ( x – 2) sen 2.

Cuando integramos de x = 1.9 ax = 2.1, son los términos de la serie de Taylor los que se integrarán.

Sustituyendo los límites:

Simplificando y cancelando términos:

Como (0.1) 2 y (- 0.1) 2 son iguales, el término rojo y el término azul se cancelan. Esto nos deja con:

Ajá, la misma respuesta que antes y también con 3 decimales.

¿Por qué funciona esto? Primero, elegimos un intervalo estrecho de x = 1.9 ax = 2.1. Segundo, dejamos a = 2.0. Por lo tanto, la expansión de la serie de Taylor alrededor de a = 2.0 siempre estuvo muy cerca de la función real.

¿Por qué pudimos ignorar términos de orden superior? Bueno, los términos de orden superior se ven como ( x – a ) elevado a una potencia. Al mantener un cerca de x , esta diferencia, ( x – a ), es siempre menor que 1. Cuando elevamos un número inferior a 1 a una potencia, el resultado se hace más pequeña y rápidamente se convierte en insignificante.

La función que se integra es el integrando . Para integrandos simples, no es necesario aproximar la respuesta utilizando un enfoque de serie de Taylor. Este primer ejemplo se usó para comenzar.

Ejemplo 2

¿Qué tal si se integra e – x cos x de x = 1.9 ax = 2.1?

El área sigue siendo negativa pero es más pequeña

Utilizando un programa informático de gráficos, se calcula que el área es – 0,011. Veamos cómo se compara el enfoque de la serie de Taylor.

La serie de Taylor para e – x es:

Nuevamente, mantendremos solo los dos primeros términos.

Multiplique la serie para e – x con la serie para cos x :

Multiplicar y organizar los términos:

Eliminaremos el término ( x – a ) 2 .

Esto nos deja con:

Integrando de x = 1.9 ax = 2.1 usando a = 2.0:

cual es:

Sustituyendo los límites y simplificando:

Una vez más, obtenemos la respuesta esperada para la integración utilizando el enfoque de la serie de Taylor.

Resumen de la lección

La serie de Taylor es una serie infinita sobre un punto x = a . Si una ha sido cuidadosamente elegido y si el intervalo de integración es pequeño, que puede sustituir a un complicado integrando (la función que se integra) con unos términos de la serie de Taylor. Integrar estos términos de la serie de Taylor suele ser mucho más fácil que integrar la función complicada. Una integral definida es una integración desde un límite inferior en x hasta un límite superior en x . Aunque el método de la serie de Taylor se aproxima a la integral definida exacta , la respuesta resultante puede ser notablemente precisa.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador