Serie de Taylor para funciones de una variable compleja

Serie de Taylor: Variables complejas

Probablemente conozca la fórmula para encontrar la serie de Taylor de una función como f ( x ) = 1 / (1 – x ). Usando la fórmula de la serie de Taylor obtenemos:

Para mayor claridad, x es una variable real, lo que significa que puede tener valores en la recta numérica, y la fórmula de suma en el lado derecho es una forma compacta de escribir 1 + x + x 2 + … donde n toma valores de 0 a ∞. Cuantos más términos agreguemos, mejor será nuestra aproximación a la función real. ¡Pero hay una trampa! Necesitamos más información.

Por ejemplo, con 1 / (1 – x ), la fórmula de suma solo funciona para | x | <1. La última parte, | x | <1, nos dice en qué parte del eje x podemos elegir valores (como x = 0,9) y aún poder usar la expresión de suma. Esto se llama región de convergencia . Si elegimos cualquier valor para x fuera de la región de convergencia (como x = 1.1), la suma no representará la función, f ( x ), sin importar cuántos términos sumemos.

¿Qué pasa si en lugar de una variable real, x , tenemos una variable compleja, z ?

En esta lección exploramos esta pregunta utilizando las ideas de diferenciabilidad compleja, condiciones de Cauchy-Riemann, funciones analíticas y una región de convergencia definida por un círculo en lugar de una recta numérica.

Diferenciabilidad compleja

Si puede hacer manipulaciones básicas de números complejos y calcular derivadas parciales, puede probar la diferenciación compleja. Estos son los pasos:

Primero, escribe la función en la forma:

identificando u ( x , y ) y v ( x , y ).

Luego, calcula 4 derivadas parciales:

Hagamos un ejemplo con f ( z ) = 1 / (1 – z ).

Paso 1: Escribe f ( z ) en la forma f ( x , y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y )

Tenemos f ( z ) = 1 / (1 – z ). Pero z es complejo, lo que significa z = x + i y .

Sustituye x + i y por z :

Que se puede escribir como:

El denominador tiene una parte real, 1 – x , y una parte imaginaria, – y .

Luego, multiplique el numerador y el denominador por 1 – x + i y (esto a veces se llama “racionalizar el denominador”):

Separe las partes reales de las imaginarias:

Comparando este resultado con:

Cuéntanos:

y

¡Hemos dado el primer paso!

Paso 2: Calcule las derivadas parciales.

La derivada parcial de u ( x , y ) con respecto a x significa que x es la variable y todo lo demás es una constante. Cuando diferenciamos con respecto ay , x se mantiene constante. Usando la regla del cociente para la diferenciación:

Esto se simplifica a:

Ahora, diferencia v ( x , y ) con respecto ay :

que se simplifica a:

Quedan dos más. Derivada parcial de v ( x , y ) con respecto ax :

que se simplifica a:

Último: diferenciar u ( x , y ) con respecto ay :

Simplificando:

Esto completa el paso 2.

Ahora comparamos estos resultados. Si:

y:

entonces, la función f ( z ) = 1 / (1 – z ) es una función analítica.

Estas dos condiciones son verdaderas y, de hecho, nuestra función es una función analítica. Por cierto, estas dos ecuaciones de prueba se denominan ecuaciones de Cauchy-Riemann , que se utilizan al explorar funciones analíticas.

Serie de Taylor: funciones analíticas

La declaración formal es la siguiente:

Si una función f ( z ) es una función analítica con una región de convergencia | z – z o | < R en el plano complejo, entonces para z dentro de la región de convergencia, la fórmula de la serie de Taylor viene dada por:

Esta es exactamente la forma de nuestra fórmula habitual de la serie de Taylor, excepto que x ha sido reemplazada por z . Por supuesto, esto solo funciona si la función, f ( z ), es analítica y solo funciona si z está dentro de la región de convergencia.

Hagamos algo de sentido a esta idea de “región de convergencia”. En el plano complejo, podemos dibujar un círculo centrado en el origen:

Un círculo con radio de 1

El valor absoluto de z es el valor absoluto de r e iθ . El ángulo θ va de 0 a 360 o y r es el radio del círculo. El valor absoluto de r e iθ es simplemente r .

Si queremos mostrar la región para r = 0.9:

El disco sombreado en verde es la región para una r menor que 1

Esta región está dentro de la región de convergencia establecida en r <1.

¿Qué pasa si sumamos los primeros 10 términos en nuestra serie de Taylor para r = 0.9? Y, mejor aún, graficaremos la magnitud de esta función compleja junto con la magnitud de 1 / (1 – z ).

La línea ondulada es la suma de 10 términos y encaja bien

Esto es lo que esperamos ya que z está dentro de la región de convergencia.

¿Qué tal elegir una r mayor que 1, como r = 1.1?

No encaja bien ni siquiera por 10 términos

La suma no convergerá a 1 / (1 – z ) si elegimos valores para z que están fuera de la región de convergencia.

Resumen de la lección

Una función es derivable compleja si satisface las dos ecuaciones de Cauchy-Riemann. Esto es importante porque las funciones diferenciables complejas son funciones analíticas y las funciones analíticas se pueden expresar como una serie de Taylor de una variable compleja. Una consideración importante es la región de convergencia , que nos dice en qué parte del eje x podemos elegir valores y aún poder usar la expresión de suma. Una función puede aproximarse usando la serie de Taylor siempre que los valores de las variables complejas estén dentro de la región de convergencia.