Repetición de decimales como series

Un decimal repetido

En esta lección, aprenderá a convertir un decimal periódico en una serie. Un decimal periódico es un decimal cuyos dígitos se repiten sin terminar. Puede ser solo un dígito que se repite, como 0.3333 … donde se repite el dígito 3, o puede ser un grupo de dígitos, como 0.127127127 … donde los dígitos 127 siguen repitiéndose. También puede tener un decimal periódico que comience con un número diferente, como 3.212121 … De hecho, puede pensar en este decimal como el número 3 más el decimal periódico 0.212121 … donde los dígitos 21 se siguen repitiendo.

Aquí hay algunos ejemplos más de decimales periódicos:

Decimal repetido	Dígitos repetidos
0,11111 …	1
0,54545454 …	54
0.101101101 …	101

La regla

Siempre que tenga un decimal periódico, puede convertirlo en una serie geométrica infinita. Cuando tienes un decimal periódico como 3.212121 …, entonces tendrás el número 3 más la serie geométrica infinita de 0.212121 … Una serie geométrica infinita es una serie de números que continúa para siempre y tiene la misma razón constante entre todos los números sucesivos. Esto significa que puedes simplemente multiplicar cualquier término por esta razón constante para encontrar el siguiente término. Por ejemplo, 4, 2, 1, 1/2, 1/4,… es una serie geométrica porque la razón entre todos los números sucesivos es 1/2. Multiplica cada término por 1/2 y obtendrás el siguiente término .

Cualquier decimal periódico se puede convertir en una serie geométrica infinita que sigue este patrón:

• a + ar + ar 2 + ar 3 +…

La a representa el primer término de la serie y la r representa la relación constante entre todos los números sucesivos de la serie. Observe que r siempre será menor que 1 para todos los decimales periódicos.

Por ejemplo, el decimal periódico 0.3333 … se puede escribir como esta serie geométrica infinita:

• 0,3333 … = 0,3 + 0,3 (0,1) + 0,3 (0,1) 2 + 0,3 (0,1) 3 +…

Según esto, el primer término es 0.3 y la relación constante entre cada término sucesivo es 0.1.

Usando la regla

¿Cómo pasamos de 0.3333 … a su serie geométrica infinita? Veamos cómo se hace esto cambiando el decimal periódico 0.545454 … a su serie geométrica infinita.

Comenzamos dividiendo nuestro decimal periódico en un problema de suma de sus partes repetidas.

Entonces, el 0.545454 … se divide en esto:

• 0,545454 … = 0,54 + 0,0054 + 0,000054 +…

Esto es muy similar a dividir un número mayor como 5454 en un problema de suma de sus partes: 5454 = 5000 + 400 + 50 + 4. Para su decimal periódico, simplemente está sumando cada parte repetida sucesiva del decimal. Dado que su serie geométrica continúa para siempre, su problema de suma continúa para siempre. Simplemente sigue un patrón particular.

A continuación, necesitamos averiguar la razón constante entre cada término sucesivo de nuestra serie geométrica. Para hacer esto, simplemente puede dividir el segundo término por el primer término.

• 0,0054 / 0,54 = 0,01

Al realizar esta división, obtenemos 0.01. Esto significa que podemos reescribir el segundo término como 0.54 (0.01), que es el primer término multiplicado por la razón constante.

• 0,0054 = 0,54 (0,01)

Si 0.01 es la razón constante entre todos los términos sucesivos, entonces, para llegar al siguiente término, todo lo que necesita hacer es multiplicar por esta razón constante. Entonces, para llegar al tercer término, todo lo que necesita hacer es multiplicar el segundo término por 0.01. Esto significa que puede reescribir el tercer término como el primer término multiplicado por la razón constante dos veces (una vez para llegar al segundo término y nuevamente para llegar al tercer término).

• 0,000054 = 0,54 (0,01) 2

Ahora vemos que comienza a surgir un patrón. Nuestro primer término es 0.54 y nuestra razón constante es 0.01. A partir de esto, ahora podemos escribir nuestra serie geométrica infinita como esto:

• 0,545454 … = 0,54 + 0,54 (0,01) + 0,54 (0,01) 2 + 0,54 (0,01) 3 + …

Ejemplo

Probemos con otro.

Intentemos convertir 3.212121 … en una serie geométrica infinita.

Al observar este número, se da cuenta de que en realidad tiene un 3 más el decimal periódico 0.212121 ….

• 3,212121 … = 3 + 0,212121 …

Esto significa que la única parte que vas a convertir en una serie geométrica infinita es 0.212121 ….

Sabiendo esto, comienza dividiendo el decimal periódico 0.212121 … en un problema de suma de sus partes repetidas.

• 0,212121 … = 0,21 + 0,0021 + 0,000021 +…

Ahora, necesita averiguar la relación entre sus términos sucesivos. Sigue adelante y divide tu segundo período por el primero.

• 0,0021 / 0,21 = 0,01

Ahora tienes tu valor r. Ahora puede escribir su serie geométrica infinita de la siguiente manera:

• 3,212121 … = 3 + 0,21 + 0,21 (0,01) + 0,21 (0,01) 2 + 0,21 (0,01) 3 + …

Resumen de la lección

Revisemos. Un decimal periódico es un decimal cuyos dígitos se repiten. Una serie geométrica infinita es una serie de números que continúa eternamente y que tiene la misma razón constante entre todos los números sucesivos.

Todos los decimales que se repiten se pueden reescribir como una serie geométrica infinita de esta forma:

• a + ar + ar 2 + ar 3 +…

La a representa el primer término y la r representa la relación constante entre todos los términos sucesivos.

Para reescribir cualquier decimal periódico como una serie geométrica infinita, siga estos pasos:

• 1. Vuelva a escribir su decimal periódico como un problema de suma de sus partes repetidas.
• 2. Divida el segundo término por el primer término para encontrar la razón constante.
• 3. Vuelva a escribir el decimal periódico siguiendo la forma de la serie geométrica infinita para los decimales repetidos.

Si su decimal periódico comienza con un número diferente, primero dividirá su decimal en la parte que no se repite más la parte decimal que se repite.