Uso de la prueba de relación para la convergencia de series

Notación de serie y suma

Como ocurre con la mayoría de las discusiones técnicas, el tema de la “convergencia de series” tiene terminología y definiciones especializadas.

Al escribir una serie con la ecuación que aparece aquí, definiremos k como el límite inferior de una suma, mientras que a n se denomina término general. ¿Existe un límite superior en la suma? Seguro, el límite superior es n = infinito (escrito como ∞).

Usemos un ejemplo para aclarar lo que está pasando.

En este ejemplo, podemos identificar la ky la a n . La k es 1 y

El símbolo sigma mayúscula que ha estado viendo en estas fórmulas (Σ) es la notación de suma , lo que significa sumar el término general de n = 1 an = ∞. Para que esto tenga sentido, hagamos algunas sumas.

Sumando de n = 0 an = 2, obtenemos las fórmulas que aparecen aquí:

Pero 2 1 es 2 y 2 2 es 4. Por lo tanto, obtenemos:

Por lo tanto, la suma de los dos primeros términos nos da un resultado de 1.

¿Qué pasa si sumamos un poco más? Intentemos resumir hasta n = 5:

Simplificando, obtenemos:

Entonces, de una suma igual a 1 usando los dos primeros términos, ahora tenemos una suma igual a ≅ 1.78.

Podríamos dejar que M sea el valor superior de n . Cuando sumamos M = 2, obtuvimos un resultado de 1. Cuando sumamos M = 5, el resultado fue 57/32. La idea de convergencia es intuitiva: si la serie converge, la suma se establece en un valor finito a medida que M aumenta cada vez más. Por cierto, no todas las series convergerán.

Podríamos experimentar sumando la serie para valores crecientes de M. Este sería un enfoque de “fuerza bruta”. Intuitivo pero lento y no muy elegante. En cambio, podemos utilizar una prueba de convergencia para determinar la convergencia. Hay muchas pruebas de este tipo. En esta lección, exploramos la convergencia mediante la prueba de razón.

La prueba de la relación

La prueba de razón nos indica que busquemos un límite que llamamos ” L ”, como puede ver en esta fórmula que aparece aquí:

Hay tres instrucciones implícitas:

1. Formar una razón de n +1 dividido por n
2. tomar el valor absoluto de esta razón
3. tomar el límite como n → ∞

Una vez que encontramos L, concluimos que:

• si L <1, la serie converge
• si L> 1, la serie no converge; diverge
• si L = 1, la prueba no es concluyente y no podemos decir a partir de esta prueba si la serie converge o no

Podemos dividir las pruebas de relación en pasos.

Paso 1: Identifique el término general, a n .

En nuestro ejemplo,

Paso 2: Encuentre una expresión para n +1 .

Simplemente reemplace la n en una n con n +1:

Paso 3: Construya la razón de n +1 a n .

Paso 4: simplifica la proporción.

Primero, tenga en cuenta que la división de fracciones es bastante engorrosa. Podemos escribir la división por fracción como una multiplicación con el recíproco de la fracción, como puede ver aquí:

Luego, organiza los términos.

¿Ves cómo los ” términos de 2 a la potencia ” se escriben uno sobre el otro? Lo mismo para los n términos.

Simplificando aún más, obtenemos la ecuación que aparece aquí:

2 n y 2 n +1 tienen la misma base de 2. Esto nos permite combinar los exponentes y expresar la división como una resta de potencias: n + 1 – n .

Sin embargo, n + 1 – n es solo 1 y 2 1 es 1. Por lo tanto, la razón se convierte en:

Paso 5: Toma el valor absoluto.

Como puede ver aquí, 1/2 es claramente positivo y n siempre es mayor que 0 en la suma, por lo que el valor absoluto de nuestra razón es solo la razón en sí.

Paso 6: tome el límite como n → ∞.

El límite está en n , que puede ver aquí:

Dado que 1/2 no depende de n , aparece delante del cálculo del límite.

Ahora, a medida que n se hace cada vez más grande, n + 1 se acerca cada vez más en valor a n . Por lo tanto, en el límite cuando n llega al infinito, n + 1 y n son iguales y ( n + 1) / n → 1.

Reemplazando el límite con 1 nos da:

Paso 7: comenta el resultado.

L = 1/2 que es menor que 1. Por lo tanto, esta serie converge.

Vista gráfica de convergencia

¿Ve la línea verde discontinua en y = 2? Esta línea horizontal se está acercando a medida que agregamos más y más términos en la serie.

Serie converge

La suma de los dos primeros términos nos dio una suma de 1. Vaya a 2 en el eje horizontal y lea hasta el valor de 1. El eje horizontal está etiquetado como M para el número de términos agregados. Para M = 5, calculamos previamente una suma de 1,78. Para cuando agregamos los primeros M = 10 términos, la suma se ha asentado prácticamente en un valor de 2. Intuitivamente, mirando el gráfico, podemos convencernos de que esta serie converge.

Resumen de la lección

Una serie se expresa como la suma de términos desde un límite inferior hasta un límite superior. El término general aparece a la derecha de Σ en la notación de suma convencional , lo que significa sumar el término general de n = 1 an = ∞. Una serie convergerá o divergerá. Una prueba de convergencia útil es la prueba de razón , que nos instruye para encontrar el límite que llamamos L. Esto implica usar el límite del valor absoluto de la razón del término n + 1 al término n como nse acerca al infinito. La prueba de razón predice la convergencia si este límite es menor que 1. La divergencia está garantizada si el límite es mayor que 1. Si el límite es igual a 1, la convergencia o divergencia es indeterminada.