Distribución Uniforme: Definición, gráfico y ejemplos

¿Qué es la Distribución Uniforme?

Una distribución uniforme es una distribución de probabilidad en estadística donde todos los resultados son igualmente probables.

Hay dos tipos de distribución uniforme:

• distribución uniforme discreta
• distribución uniforme continua

Estos dos tipos se explicarán más adelante en la lección.

En cualquier caso, la distribución uniforme también es simétrica y a menudo se denomina distribución simétrica. Esto se debe a que la gráfica de la distribución uniforme es una línea recta de puntos o una región rectangular. Ambos son representaciones simétricas de la distribución uniforme.

Ahora, todas las distribuciones de probabilidad se definen mediante parámetros. Los parámetros son cantidades que son constantes para una distribución particular que puede tomar diferentes valores para diferentes miembros de familias de distribuciones. Los parámetros más comunes para una distribución de probabilidad son la media y la varianza. Los parámetros de la distribución uniforme son, por tanto, la media y la varianza de la distribución uniforme. Estos también definen la forma de la distribución ya que estos parámetros dictan el tamaño y la altura de la línea o rectángulo.

¿Qué es la Distribución Uniforme?

La distribución uniforme es una distribución estadística en la que cada resultado posible tiene la misma posibilidad o probabilidad de ocurrir (1 del número total de resultados). Por ejemplo, imagine a un hombre parado en la esquina de una calle entregando un billete de $ 50 a un afortunado transeúnte. Si fuera completamente al azar, cada persona que pasara por allí tendría las mismas posibilidades de obtener el billete de $50. Este es un ejemplo de una distribución de probabilidad uniforme. Es uniforme porque todos tienen la misma oportunidad (el porcentaje de probabilidad es igual a 1 dividido por el número de personas que pasan caminando). Si el hombre prefería a las personas altas o morenas, y era más probable que les diera el dinero a ellos en lugar de a otros, bueno, eso no sería uniforme, porque algunos tendrían una mayor probabilidad de obtener un dólar que otros.

Un gráfico de este ejemplo, a continuación, parece un rectángulo grande hecho de rectángulos más pequeños y delgados, con el ancho del rectángulo más grande igual al número de personas que pasan caminando y la altura igual a la probabilidad de que cada persona reciba el billete de $50 ( la probabilidad es igual a 1 dividido por el número de personas).

En estadística, todos los gráficos de distribuciones uniformes tienen esta característica plana en la que la parte superior y los lados son paralelos a los ejes x e y . Aquí hay otro gráfico (abajo) que muestra la distribución de probabilidad cuando se lanza un dado justo, lo que significa que cada lado tiene la misma oportunidad o probabilidad de salir. Debido a que cada dado tiene seis lados, hay seis resultados posibles, y cada resultado tiene una probabilidad de 1/6 (16,7 %). Como resultado, la distribución de las probabilidades es uniforme, dejando el gráfico plano y suave.

Considere la probabilidad de seleccionar una carta en particular, usando solo los corazones de una baraja de póquer estándar. El siguiente gráfico ilustra la distribución de las probabilidades para cada una de las 13 cartas. Debido a que hay 13 corazones en una baraja de cartas, cada carta tiene una probabilidad de 1/13, o 7.7%, de salir. Observe, entonces, qué plano y uniforme se ve el gráfico, sin protuberancias, picos ni agrupaciones.

Gráfico de distribución uniforme

Un gráfico de distribución uniforme se muestra a continuación en la Figura 1 . Este es el gráfico de una distribución uniforme (continua) con parámetros a y b .

En la Figura 1 , el valor de cada entrada se define como {eq}\frac{1}{ba} {/eq} donde a y b definen los límites inferior y superior de la entrada. Además, la función f define esta distribución de probabilidad. Más adelante se darán fórmulas más explícitas para los dos tipos de distribuciones uniformes.

Esta imagen también define la forma general del gráfico de distribución uniforme como una región rectangular con una línea recta horizontal.

El método para calcular la probabilidad en una distribución uniforme es calculando el área entre dos puntos de la distribución. Dado que la distribución uniforme se puede representar como una región rectangular, el área dentro de la región representa la probabilidad.

Ejemplo: distribución uniforme de datos

¿Cuál es un ejemplo de distribución uniforme de datos? Considere una baraja de cartas estándar. Hay cuatro suites en la baraja: corazones, picas, tréboles y diamantes. Las posibilidades de sacar cualquiera de estas suites del mazo son las mismas para cada suite: {eq}\frac{1}{4} {/eq}.

Por lo tanto, este ejemplo está modelado por una distribución de datos uniforme. La siguiente imagen en la Figura 2 muestra la distribución uniforme de los palos de una baraja de cartas:

En la Figura 2 , hay cuatro entradas posibles y dado que cada una tiene la misma probabilidad, las salidas para cada una son {eq}\frac{1}{4} {/eq}. Este es también un ejemplo de una distribución uniforme discreta ya que hay puntos distintos individuales. Finalmente, dado que cada resultado individual tiene exactamente la misma probabilidad, este es un ejemplo de una distribución uniforme.

Tipos de Distribuciones Uniformes en Estadística

Hay dos tipos principales de estadísticas de distribución uniforme: discretas y continuas. Estos dos tipos dependen del tipo de variable. Si la variable solo puede tomar ciertos valores individuales, entonces la variable es discreta y la distribución es discreta. Si la variable puede tener cualquier valor en un espectro de valores, entonces la variable es continua y la distribución es continua. Las siguientes dos secciones detallarán estos dos tipos diferentes de distribuciones.

Distribución Uniforme: Para Variable Discreta

Una distribución uniforme discreta es una distribución uniforme en la que la variable es discreta, lo que significa que la variable toma valores distintos individuales. En general, una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme discreta si y solo si su distribución de probabilidad está dada por:

• {eq}f(x) = \frac{1}{k} {/eq} for {eq}x = x_1, \ x_2, \ x_3, \ …, \ x_k {/eq} donde {eq}x_i \neq x_j {/eq} cuando {eq}i \neq j {/eq}.

Observe que hay un número finito de valores de x individuales que tienen el mismo valor de salida en la distribución de probabilidad. Esto es indicativo de una distribución uniforme discreta. Un ejemplo de una distribución uniforme discreta sería la distribución de probabilidad al lanzar una moneda. Las dos opciones distintas al lanzar una moneda son cara y cruz y ambas tienen la misma probabilidad; por lo tanto, este escenario se puede modelar utilizando una distribución de probabilidad discreta.

La imagen en la Figura 3 muestra estadísticas de un gráfico uniforme discreto:

En la Figura 3 , solo hay un número finito de valores de entrada distintos, por lo que se trata de una distribución discreta. Además, dado que todos los valores de entrada tienen exactamente el mismo valor de salida de {eq}\frac{1}{k} {/eq}, esta es una distribución uniforme discreta.

Es importante señalar que el valor de salida de una distribución uniforme discreta está directamente relacionado con el número de valores de entrada. Si el número de valores de entrada es k , entonces el valor de salida para cada entrada es {eq}\frac{1}{k} {/eq}.

El gráfico de la Figura 3 muestra una distribución uniforme discreta general, por lo que el número de puntos no se correlaciona directamente con el valor de salida como lo haría en un ejemplo concreto. Esta imagen estaba destinada a transmitir los hechos generales de una distribución uniforme discreta:

• Hay discretamente muchos valores de entrada.
• Todos estos valores de entrada tienen el mismo valor de salida.
• El valor de salida está directamente relacionado con el número de valores de entrada.
• Los parámetros de esta distribución son la media y la varianza que definen la forma general de la distribución.

Distribución Uniforme: Para Variable Continua

Una distribución uniforme continua es una distribución uniforme en la que la variable es continua, lo que significa que la variable toma un rango continuo de valores en lugar de una cantidad finita. En general, una variable aleatoria, X , tiene una distribución uniforme continua si y solo si su distribución de probabilidad está dada por:

• {eq}f(x) = \left\{\begin{matriz} \frac{1}{ba}; & a \leq x \leq b \\ 0; & \text{otro lugar} \end{matriz}\right. {/eq}

Observe que hay una cantidad infinita de valores de entrada x que ocurren en el rango dado. Esto hace que esta distribución sea continua. Un ejemplo de distribución uniforme continua sería la distribución de probabilidad para elegir un número aleatorio en un intervalo. Un intervalo está acotado, lo que significa que x estará acotado. Dado que x elige un número aleatorio o un rango de números del intervalo, x puede tomar cualquier número en el espectro de números; además, la probabilidad para cada entrada es la misma, lo que significa que este escenario puede modelarse mediante una distribución uniforme continua.

Ahora, ¿cómo se ve una distribución uniforme en el caso de que la variable sea continua? La imagen de la Figura 4 muestra un gráfico típico para una distribución uniforme continua:

En la figura 4 , todos los valores entre a y b están modelados por la distribución, por lo que será una distribución continua. Finalmente, dado que cada valor de entrada comparte el mismo valor de salida de {eq}\frac{1}{ba} {/eq}, este es el gráfico que modela una distribución uniforme continua.

Al igual que la distribución uniforme discreta, el rango de valores determina la salida de la distribución de probabilidad. Esta imagen debe transmitir los hechos fundamentales de la distribución uniforme continua:

• Hay un número infinito (continuo) de valores de entrada, ya que esto modela un rango de valores.
• Los valores de salida están directamente relacionados con el rango de valores de entrada.
• Los parámetros de esta distribución son la media y la varianza, que definen la forma general de la distribución.

Media de la Distribución Uniforme

Como cualquier distribución de probabilidad, la distribución uniforme tiene una fórmula media. Recuerde que la media de una distribución de probabilidad es una medida del centro de la distribución. La media de la distribución uniforme tiene dos formas según el tipo. Aquí están las fórmulas medias para los dos tipos de distribuciones uniformes:

• Distribución Uniforme Discreta: {eq}\mu = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot \frac{1}{k} {/eq}
• Distribución Uniforme Continua: {eq}\mu = \frac{a+b}{2} {/eq}

Estas fórmulas darán la media de cada tipo de distribución uniforme.

Ahora, considere la distribución uniforme continua que modela la probabilidad de elegir un número del intervalo {eq}[0, 1] {/eq}. En este caso, {eq}a = 0 {/eq} y {eq}b = 1 {/eq}. Esta es una distribución uniforme continua, por lo que cada valor en el intervalo es una entrada. El valor de salida para este ejemplo es {eq}\frac{1}{ba} = \frac{1}{1-0} = 1 {/eq}. La media de esta distribución viene dada por la fórmula {eq}\mu = \frac{a+b}{2} {/eq} por lo que la media de este intervalo con la distribución uniforme continua es {eq}\mu = \frac {1+0}{2} = \frac{1}{2} {/eq}.

La imagen de la Figura 5 muestra tanto la gráfica de esta distribución como la media:

En la Figura 5 , se muestra la distribución uniforme continua para el escenario de elegir un número o rango de números del intervalo {eq}[0,1] {/eq}. La media se muestra como la línea de puntos que divide el área presentada en el gráfico. La media es una medida del centro, por lo que tiene sentido que esté en el centro del área o cerca de él.

Resumen de la lección

La distribución uniforme es la distribución de probabilidad en la que todos los resultados son igualmente probables. Esta distribución a menudo se denomina distribución simétrica, ya que la representación gráfica de esta distribución siempre es simétrica. Además, dado que la salida de esta distribución es compartida por todas las entradas, todas las salidas de este gráfico se encuentran en la misma línea horizontal. Los parámetros de una distribución son las cantidades que son constantes para distribuciones particulares pero que pueden tomar diferentes valores para diferentes miembros de familias de distribuciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador