Conjunto universal en matemáticas: definición, ejemplo y símbolo

Publicado el 23 noviembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Definición de conjunto universal

Un conjunto universal no tiene por qué ser el conjunto de todo lo que se conoce o se cree que existe, como los planetas, la vida extraterrestre y las galaxias, aunque ese sería un ejemplo de conjunto universal. Un conjunto universal son todos los elementos, o miembros, de cualquier grupo en consideración.

Por ejemplo, todas las estrellas de la Vía Láctea podrían ser un conjunto universal si hablamos de todas las estrellas de la Vía Láctea. Este tipo de conjunto universal podría ser apropiado para los astrónomos, pero sigue siendo un conjunto bastante grande de objetos a considerar.

Un conjunto universal típico en matemáticas es el conjunto de números naturales como se muestra a continuación: N = {1, 2, 3, 4, …}.

Las letras mayúsculas en negrita se utilizan a veces para identificar ciertos conjuntos de números, como N para números naturales. Usualmente usamos tirantes para encerrar un conjunto. La elipsis (…) nos dice que el conjunto de números naturales continúa sin fin; entonces este conjunto universal es también un conjunto infinito. Sin embargo, los conjuntos universales también pueden ser conjuntos finitos.

Veamos un ejemplo de un conjunto universal que es finito. El conjunto de todos los presidentes de Estados Unidos es un ejemplo de conjunto universal que es finito. Este conjunto puede aumentar cada cuatro años, pero en un momento dado, es un conjunto universal finito si hablamos de todos los hombres que han sido presidente de los Estados Unidos.

Símbolos en conjuntos universales

Los conjuntos generalmente se nombran con una letra mayúscula. Por lo tanto, el conjunto universal se suele nombrar con la letra U mayúscula . Esta será la notación que se utilizará en esta lección.

A veces, se puede usar notación alternativa para un conjunto universal, como el ejemplo del conjunto de números naturales que se muestra arriba. El conjunto de números naturales no es necesariamente un conjunto universal. El hecho de que un conjunto sea universal se basa en la estructura de un problema o en la situación que se examina. Pero el punto aquí es que la notación alternativa se puede utilizar para nombrar un conjunto universal siempre que sea práctico y claro para el observador.

Subconjuntos de conjuntos universales

Si todos los elementos de conjunto A son también elementos de conjunto B , entonces A es un subconjunto de B . Esto significa que se pueden crear subconjuntos a partir de cualquier conjunto universal definido. Primero debemos reconocer que cualquier conjunto universal es un subconjunto de sí mismo. Sin embargo, un subconjunto suele tener menos elementos que el conjunto universal a partir del cual se crea.

Volvamos al conjunto de números naturales. Suponga que quisiéramos enumerar todos los números naturales que satisfacen la ecuación 20 < x <25. Este subconjunto se muestra a continuación: {21, 22, 23, 24}.

El conjunto de números naturales en sí mismo es un subconjunto del conjunto de números reales, que podría ser otro ejemplo de conjunto universal. Nuevamente, lo que es o no un conjunto universal se basa en el contexto de un problema.

A continuación, volvamos al conjunto universal que creamos para los presidentes de los Estados Unidos: U = el conjunto de los presidentes de los Estados Unidos. Queremos crear un subconjunto de U .

Crearemos un subconjunto de todos los presidentes de los Estados Unidos que murieron en el cargo. Llamemos a este conjunto A , que se define a continuación: A = {Harrison, Taylor, Lincoln, Garfield, McKinley, Harding, F. Roosevelt, Kennedy}.


Figura 1
conjunto universal

El interior de la forma rectangular representa el conjunto universal. En otras palabras, todos los elementos, o miembros, de U están representados por el área dentro del rectángulo. El subconjunto A está representado por el círculo. Por supuesto, el área total del círculo debe estar dentro del área del rectángulo.

Muestremos un ejemplo más de un conjunto universal y un subconjunto de un conjunto universal utilizando un tema en matemáticas. Esto nos dará la oportunidad de mostrar la notación adicional utilizada en conjuntos. Nuestro conjunto universal será todos los números impares positivos menores que 100: U = {1, 3, 5, 7, … 99}.

La notación anterior muestra que el patrón de números impares positivos consecutivos continuará hasta el número 99. Nuestro subconjunto serán todos los números primos que son elementos de este conjunto universal, y lo llamaremos conjunto B : B = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}.


Figura 2
subconjunto

Esta notación se puede leer como el conjunto de todos los números x que son elementos del conjunto universal, de modo que x es un número primo. El símbolo E curvo indica que x es un elemento de U , y se entiende que la línea vertical (|) significa “tal que”.

Resumen de la lección

Un conjunto universal es el conjunto de todos los elementos, o miembros, de un grupo en consideración. Este grupo suele ser relevante para una situación particular, como un problema matemático o algún punto de discusión. La creación de conjuntos universales es útil cuando se discute un tema específico que pertenece solo a un determinado conjunto de miembros, como la clase superior de una escuela secundaria. Finalmente, se pueden crear conjuntos adicionales, denominados subconjuntos, a partir de un conjunto universal.

Resultado de aprendizaje

Al final de esta lección, debería poder definir, interpretar y crear un conjunto universal y un subconjunto relacionado.

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