Distribuciones de probabilidad
Si desea saber la probabilidad de que ocurra un resultado de un evento, lo que está buscando es la probabilidad de que este resultado ocurra sobre todos los demás resultados posibles. La probabilidad de que ocurra un resultado podría ser una simple elección binaria 50/50, como si una moneda lanzada al aire saldrá cara o cruz, o podría ser mucho más complicado.
No importa cuán complicado sea, la suma total de todas las probabilidades posibles de un evento siempre es 1. La forma en que todas estas probabilidades suman 1 se llama distribución de probabilidad .
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Hay muchos tipos de distribuciones de probabilidad, cada una de las cuales se usa para situaciones específicas. En esta lección aprenderemos sobre la distribución geométrica.
Distribución geométrica
Para entender para qué se usa la distribución geométrica, primero debemos comenzar con algo llamado ensayo de Bernoulli. Una prueba de Bernoulli es cualquier experimento que tiene exactamente dos resultados posibles, como el ejemplo del lanzamiento de una moneda.
En una prueba de Bernoulli, etiquetamos uno de los dos posibles resultados como éxito y el otro como fracaso. Una distribución geométrica es la distribución de probabilidad para el número de ensayos de Bernoulli idénticos e independientes que se realizan hasta que se produce el primer éxito.
¿Qué es la Distribución Geográfica? Ejemplos
Para usar la distribución geométrica para encontrar probabilidades, usamos las siguientes fórmulas, donde cada una corresponde a la circunstancia específica dada.
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En la tabla, p es la probabilidad de éxito de un único ensayo de Bernoulli, q es la probabilidad de fracaso de un único ensayo de Bernoulli e Y es una variable aleatoria discreta que puede tomar cualquiera de los valores posibles dados por y .
Las probabilidades P ( Y > y ) y P ( Y > y ) no se pueden resolver directamente con una suma como las fórmulas con signos menores que porque el rango de y se extiende infinitamente. Sumar esto directamente significaría que necesita sumar desde algún valor hasta el infinito. Podemos evitar esto porque sabemos que la suma de todas las probabilidades P ( Y ≥ 1) debe ser igual a 1, y P ( Y ≥ 1) se puede dividir en dos mitades sumando esa suma en todo el rango de y .
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Media y varianza
Cada distribución de probabilidad tiene su propia fórmula única para la media y la varianza de la variable aleatoria Y . La media de valor o esperado de Y nos dice que el promedio ponderado de todos los valores posibles de Y . Para una distribución geométrica, la media (E ( Y ) o μ ) viene dada por la siguiente fórmula.
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La varianza de Y se define como una medida de la dispersión de la distribución de Y . La varianza (V ( Y ) o σ 2 ) para una variable aleatoria geométrica se escribe de la siguiente manera.
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Problemas de ejemplo
Para consolidar todo lo que hemos repasado en nuestras cabezas, trabajemos juntos en un problema de ejemplo.
Una moneda ha sido ponderada para que tenga una probabilidad de 0.9 de caer en cara cuando se lanza. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera vez que la moneda caiga cara sea después del tercer lanzamiento?
En este problema, se nos pide que encontremos la probabilidad de que el primer éxito ocurra después de la tercera prueba de Bernoulli. Usando nuestro gráfico anterior, podemos ver que queremos usar la forma P ( Y > y ) de la fórmula con 3 sustituido por y .
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A continuación, necesitamos la probabilidad de falla de una única prueba de Bernoulli ( q ). Esto se puede encontrar porque la probabilidad total de un ensayo de Bernoulli debe ser igual a 1, y esa probabilidad solo tiene dos partes; la probabilidad de éxito ( p ) y la probabilidad de fracaso ( q ).
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Usando la tabla de probabilidad de antes para encontrar P ( Y ≤ 3), ahora tenemos todo lo necesario para resolver este problema.
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Ahora que hemos resuelto ese problema, también trabajemos juntos en un segundo problema rápido. Se lanza una moneda equilibrada con una probabilidad de caer en cara del 50%. Si Y es el número de giros que se necesitan para obtener el primer resultado de caras, ¿cuál es su media y varianza?
La única información que tenemos sobre este problema es que una sola prueba de Bernoulli tiene un resultado de éxito del 50%, p = 0,5. Sin embargo, esto no será un problema para encontrar la media y la varianza, ya que lo único que necesitamos para esas fórmulas es p .
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Resumen de la lección
La forma en que se distribuyen todas las probabilidades de todos los resultados posibles de un evento se conoce como distribución de probabilidad . Cuando se trabaja con ensayos de Bernoulli , cualquier ensayo con exactamente dos resultados posibles, la distribución geométrica es la distribución de probabilidad para el número de ensayos de Bernoulli idénticos que se necesitan para obtener el primer ensayo exitoso.
Hay varias situaciones en las que se puede usar la distribución geométrica para encontrar una probabilidad, y la fórmula para cada una se da en la siguiente tabla.
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En estas fórmulas, p es la probabilidad de éxito de un ensayo de Bernoulli, q es la probabilidad de fracaso de un ensayo de Bernoulli e Y es la variable aleatoria discreta que puede ser cualquier valor dado por y .
La distribución geométrica también tiene sus propias media y varianza fórmulas para Y . La media (E ( Y ) o μ ) es la media ponderada de todos los valores potenciales de Y .
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Por último, la varianza (V ( Y ) o σ 2 ) da la medida de dispersión de la distribución de Y .
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