Centro de Masa y Centro de Gravedad: Definición y ecuaciones
Definición del centro de masa
El centro de masa se define como una posición en un objeto que representa la masa promedio (o media) de ese objeto. Para un objeto simple que tiene una forma geométrica consistente y una masa consistente en toda esa forma, el centro de masa se encuentra en el punto central de ese objeto. Por ejemplo, un cubo sólido tendrá el centro de masa en el centro mismo de ese cubo (a la misma distancia de cada uno de los seis lados, dentro del cubo). La mayoría de los objetos no tienen formas geométricas consistentes, y diferentes partes del objeto pueden ser más o menos densas en diferentes ubicaciones. Para objetos sin una forma geométrica consistente y/o densidades diversas en todo el objeto, el centro de masa se encuentra utilizando vectores y se ubica en el punto donde todos los vectores de masa se cancelan entre sí para igualar a cero.
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El centro de masa de objetos como una bola de bolos o un martillo depende de los materiales utilizados en esos objetos. A menudo, una bola de bolos tiene pesos en el interior de la bola que hacen que un lado de la bola sea ligeramente más pesado que el otro, esto significa que el centro de masa estará ligeramente alejado del centro de la bola. Si un martillo tiene una cabeza muy pesada y un mango ligero, entonces el centro de masa estará más cerca de la cabeza del martillo, en lugar de en el medio del martillo. El centro de masa no necesita estar físicamente en el objeto. Si una bola es hueca por dentro, el centro de masa puede seguir estando en el centro, donde es hueca, si este es el punto que representa la masa media.
El centro de masas también se puede encontrar en un grupo de objetos que no están conectados físicamente. Por ejemplo, el centro de masas se puede encontrar entre la Tierra y la Luna. Como la Tierra es mucho más pesada que la Luna, termina estando en la Tierra, a unos 1700 km por debajo de la corteza. Pero si la Tierra y la Luna tuvieran masas más cercanas, entonces el centro de masas podría estar en algún lugar entre los dos objetos.
Centro de masa vs. centro de gravedad
El centro de gravedad se suele utilizar indistintamente con el centro de masa, pero no son lo mismo. Incluso si analizamos las dos definiciones, parecen casi idénticas. Solo hay una diferencia de una palabra: masa frente a peso. Esas dos palabras también se suelen utilizar indistintamente, pero son diferentes. La masa se refiere a la cantidad de material (como átomos) que hay físicamente en el objeto. La masa nunca cambia sin importar dónde se encuentre el objeto. El peso es la cantidad de fuerza de gravedad que actúa sobre un objeto y cambia según la gravedad que haya.
Por lo tanto, si la fuerza de gravedad es constante en todo el objeto, entonces el centro de masa y el centro de gravedad serán los mismos. Para la mayoría de los objetos que se encuentran aquí en la Tierra, el centro de masa y el centro de gravedad son esencialmente los mismos. Al llegar a las micromediciones, las dos mediciones pueden ser ligeramente diferentes. Cuanto más lejos de la Tierra se encuentra un objeto, menos gravedad hay, por lo que el punto más alto del objeto experimentará técnicamente un poco menos de gravedad que el punto más bajo de ese objeto. Mientras que la masa seguirá siendo la misma. Esto desplaza ligeramente los puntos, haciendo que el centro de gravedad esté en un punto ligeramente diferente del centro de masa. Pero para la mayoría de los propósitos, se consideran en el mismo punto a menos que haya una gran diferencia.
Esta diferencia se aprecia de forma más evidente en el espacio. La atracción de la gravedad empieza a atraer a los objetos de diferentes maneras porque la atracción desde la Tierra es mucho más fuerte que la atracción desde la Tierra. Como la Luna es una esfera bastante homogénea y regular, el centro de masas es casi exactamente el mismo que el centro geométrico. Pero la atracción de la gravedad de la Tierra hace que el centro de gravedad esté mucho más cerca de la Tierra que del centro geométrico.
Atributo | Centro de masa | Centro de gravedad |
---|---|---|
Medición | Masa | Peso |
Cálculo | Multiplicación de masas y posiciones mediante vectores | Dividiendo el peso por el origen de la gravedad |
Objetos simétricos | Siempre estará en el centro geométrico. | Las diferencias de gravedad pueden alejarnos del centro geométrico |
Ubicación | Puede estar fuera del cuerpo del objeto. | Siempre estará dentro del cuerpo del objeto. |
Ecuación del centro de masa
Para encontrar el centro de masa, se puede utilizar la ecuación del centro de masa. Para formas geométricas simétricas, esta ecuación es simplemente {eq}\frac{l}{2} {/eq}, donde l es la longitud. Si bien esta es la ecuación técnica para formas geométricas, se vuelve un poco más complicada si la forma no es una línea recta. Por ejemplo, encontrar el centro de un círculo, un triángulo u otras formas puede requerir ecuaciones adicionales.
Para encontrar el centro de masa de dos objetos, la ecuación es: {eq}\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2} {/eq}, donde m es la masa de cada objeto y x es la ubicación (desde cualquier punto de origen).
Fórmula del centro de masa para distintas formas
Para encontrar el centro de masa de varias formas, existen métodos individuales para encontrar dónde se encuentra el punto central.
- Rectángulo: {eq}\frac{altura}{2} {/eq}, {eq}\frac{base}{2} {/eq}
- Triángulo rectángulo: {eq}\frac{altura}{3} {/eq}, {eq}\frac{base}{3} {/eq}
- Triángulo escaleno: {eq}\frac{altura}{3} {/eq}, {eq}\frac{base}{2} {/eq}
- Círculo o disco: en el centro, que es la distancia del radio desde el borde.
- Semicírculo: {eq}centro {/eq}, {eq}\frac{4\times radio}{3\pi} {/eq}
- Cono: centro del círculo, luego hacia arriba {eq}\frac{altura}{4} {/eq}
Para cada uno de estos objetos, el centro de gravedad sería el mismo siempre que la atracción gravitatoria fuera constante. Si estas formas estuvieran en el espacio o fueran muy grandes, entonces el centro de gravedad se desplazaría.
Ecuación del centro de gravedad
Si solo se necesita un centro de gravedad aproximado y si la atracción gravitatoria es constante, se pueden utilizar las ecuaciones para el centro de masas. Pero para encontrar el centro de gravedad exacto, se debe utilizar la ecuación del centro de gravedad. Esta ecuación se basa en la idea de dividir el objeto en pedazos pequeños. Cada pedazo pequeño se pesa (con respecto a la fuerza de gravedad) y se mide la distancia desde un punto específico. En esta ecuación, {eq}W_i {/eq} representa la masa de cada punto y {eq}x_i {/eq} representa la distancia de ese punto. La ecuación es:
{eq}\frac{\suma x_i W_i}{\suma W_i} {/eq}
Donde se suman los productos de cada peso y distancia y luego se dividen por la suma de todos los pesos. El resultado es una distancia desde el punto original. Para encontrar el punto exacto, esto debe hacerse para cada dirección 3D del objeto (la coordenada x, la coordenada y y la coordenada z).
Cuanto más pequeñas sean las piezas que se puedan utilizar, más preciso será el resultado. El uso de integrales puede generar una estimación muy precisa. Las fórmulas utilizadas para las integrales se pueden determinar mediante programas informáticos.
Ejemplo de cálculo
Para encontrar el centro geométrico de un objeto:
- Romper el objeto en pedazos más pequeños
- Determinar el peso de cada pieza
- Determinar la distancia desde un origen de cada pieza
- Inserte la información en la fórmula para encontrar la distancia del centro geométrico desde el punto de origen.
Para una esfera que gira alrededor de la Tierra, el centro de gravedad no será el centro geométrico, porque el lado más cercano a la Tierra experimentará una atracción gravitatoria más fuerte, lo que hará que pese más.
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El primer paso es romper el objeto en pedazos más pequeños y encontrar el peso de cada pedazo:
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A continuación, se determina un punto de origen, en este caso se utilizará el centro geométrico, y se mide la distancia al centro geométrico de cada sección. Esta medición debe realizarse para la dirección x, la dirección y y la dirección z:
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Inserte la información de la coordenada x, con los pesos, en la fórmula:
{eq}\frac{(-10 \times 10) + (10 \times 15) + (-10 \times 15) + (10 \times 20)}{10 + 15 + 15 + 20} = \frac {-100 + 150 -150 + 200}{60}=\frac{100}{60}=1,7 {/eq}
La coordenada x es 1,7. A continuación, encuentre la coordenada y:
{eq}\frac{(10 \times 10) + (10 \times 15) + (-10 \times 15) + (-10 \times 20)}{10 + 15 + 15 + 20} = \frac {100 + 150 -150 – 200}{60}=\frac{-100}{60}=-1,7 {/eq}
La coordenada y es -1,7. Por último, halla la coordenada z:
{eq}\frac{(10 \times 10) + (10 \times 15) + (-10 \times 15) + (-10 \times 20)}{10 + 15 + 15 + 20} = \frac {100 + 150 -150 – 200}{60}=\frac{-100}{60}=-1,7 {/eq}
La coordenada z es -1,7. Las coordenadas del centro de gravedad son (1,7, -1,7, -1,7), mientras que las coordenadas del centro de masa (en el centro geométrico) son (0, 0, 0).
Resumen de la lección
El centro de masa es el punto medio o promedio de la masa de un objeto. El centro de gravedad es el punto medio o promedio de la fuerza de gravedad de un objeto. También se describe como el punto en el que la gravedad parece actuar sobre un objeto. El centro de masa y el centro de gravedad difieren solo en función de si la medida utilizada es la masa o la materia física del objeto, o si la medida utilizada es el peso o la fuerza de gravedad sobre el objeto. Esta ligera diferencia a menudo no causa una diferencia en la ubicación entre el centro de masa y el centro de gravedad, las únicas veces que serán diferentes son:
- Con un objeto muy largo, como una barra, se empieza a sentir la curvatura de la Tierra.
- Con un objeto muy alto, donde la parte superior siente menos gravedad que la parte inferior
- Objetos en el espacio o en órbita alta, que sienten la atracción de la gravedad con más fuerza en un lado del objeto.
En general, el centro de masa y el centro de gravedad son los mismos a menos que la atracción gravitatoria no sea constante en todo el objeto. El centro de masa se calcula utilizando el centro geométrico del objeto. Si el centro de gravedad es diferente del centro de masa, entonces es igual a: {eq}\frac{\sum x_i W_i}{\sum W_i} {/eq}. Donde {eq}x_i {/eq} es la distancia de cada sección del objeto desde un punto de origen y {eq}W_i {/eq} es el peso de cada sección del objeto.
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