Ley de Gauss: Definición, ecuación y ejemplos

¿Qué es la ley de Gauss?

La ley de Gauss nos ayuda a describir el campo eléctrico en un punto del espacio cuando se da una distribución arbitraria de partículas o superficies/objetos cargados. Es importante señalar que la ley de Gauss se basa en la aplicación de superficies imaginarias, llamadas superficies gaussianas, para ser utilizada correctamente. En electrostática, la ley de Gauss se utiliza con mayor frecuencia para calcular el campo eléctrico de una distribución de carga dada, pero también se puede aplicar a situaciones en las que se desea encontrar el flujo eléctrico o la carga encerrada. Por definición, la ley de Gauss relaciona la carga encerrada por la superficie gaussiana con el campo creado por esa carga. Este método se utiliza comúnmente en problemas que tienen simetrías esféricas, cilíndricas o cúbicas. Si bien la simetría no es un requisito previo para aplicar la ley de Gauss, cualquier simetría presente se puede utilizar para simplificar las matemáticas del problema.

Aplicaciones de la ley de Gauss

En electromagnetismo, muchos problemas involucran distribuciones de carga puntuales, lineales (alambre) o superficiales (planares), y podemos usar superficies gaussianas para simplificar nuestro análisis. Para usar una superficie gaussiana correctamente, requerimos que el vector de campo eléctrico y el vector de área (la normal exterior a la superficie intersecada) sean perpendiculares entre sí en todas partes de la superficie. La diferencia en la radiación del campo eléctrico entre las cargas puntuales, lineales y superficiales es responsable de la diferencia en una buena elección de simetría. Mientras que una carga puntual produce líneas de campo radialmente simétricas y una simetría esférica pura, un alambre (asumiendo que tiene una longitud infinita) produce líneas de campo simétricas pero no en un patrón radial. Finalmente, debido a que una superficie produce líneas de campo perpendiculares a sí misma y en un eje, se aplica una simetría cúbica o cilíndrica.

La distribución de carga que estamos discutiendo será importante más adelante, ya que se requiere la cantidad de carga encerrada para aplicar la ley de Gauss. Mientras que una carga puntual tiene un valor discreto de carga, un cable o una superficie, que a menudo consideramos infinitos en longitud/tamaño, no tienen un valor cuantificable de la carga. Por lo tanto, necesitamos conocer la densidad de carga, que es una medida de carga por unidad de longitud, área o volumen. Para un cable, la densidad de carga depende de la longitud y se escribe como {eq}\lambda = \frac{Q}{L} {/eq}, mientras que para una superficie la densidad de carga depende del área y se escribe como {eq}\sigma =\frac{Q}{A} {/eq}.

Ejemplos de la ley de Gauss

Ejemplo 1: Carga puntual positiva

Encuentre el campo eléctrico, E, de la carga puntual única en el espacio tridimensional con una carga de {eq}+Q {/eq}.

Solución:

Como tenemos una carga puntual positiva que produce un campo eléctrico radialmente simétrico, utilizaremos una superficie gaussiana esférica para resolver el problema. En la figura que se muestra, la superficie gaussiana está representada por la línea discontinua negra y encierra la carga puntual positiva. La carga total encerrada es la carga puntual completa que tiene una carga {eq}+Q {/eq}. También sabemos que la simetría del problema nos permite reescribir la ley de Gauss sin una integral. Escribiendo la forma general aquí obtenemos:

{eq}EA=\frac{q_{enc}}{\epsilon_0}=\frac{Q}{\epsilon_0} {/eq}

La simetría esférica significa que A representa el área total de la superficie de una esfera. Sustituyendo {eq}A_{sph}=4\pi R^2 {/eq} en la ley de Gauss y reordenando para E, se obtiene:

{eq}E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R^2}{/eq}

Dada la carga de la carga puntual y el radio de la superficie gaussiana utilizada, la fórmula anterior se puede utilizar para calcular el campo eléctrico directamente. Nota: El valor de E obtenido aquí es solo una magnitud, ya que no hay una dirección asociada con nuestra respuesta.

Ejemplo 2: Carga lineal positiva

Encuentre el campo eléctrico, E, de una carga lineal infinita en el espacio tridimensional con una densidad de carga de {eq}\lambda {/eq}.

Solución:

Como tenemos una carga lineal positiva que produce un campo eléctrico cilíndricamente simétrico, utilizaremos una superficie gaussiana cilíndrica para resolver el problema. En la figura que se muestra, la superficie gaussiana está representada por la línea discontinua negra y encierra la carga lineal positiva. La carga total encerrada es la densidad de carga multiplicada por la longitud de la superficie gaussiana, es decir,

{eq}Q=\lambda L {/eq}

La presencia de simetría y el valor de Q nos permite escribir la ley de Gauss como,

{eq}EA=\frac{\lambda L}{\epsilon_0} {/eq}

La simetría cilíndrica significa que A representa el área total de la superficie de los lados de un cilindro. Sustituyendo {eq}A_{cyl}=2\pi RL {/eq} en la ley de Gauss y reordenando para E, se obtiene:

{eq}E=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{\lambda}{R} {/eq}

Dada la densidad de carga de la línea de carga y el radio/longitud de la superficie gaussiana utilizada, la fórmula anterior se puede utilizar para calcular el campo eléctrico directamente. Nota: El valor de E obtenido aquí es solo una magnitud, ya que no hay una dirección asociada con nuestra respuesta.

Resumen de la lección

La ley de Gauss es un método utilizado para ayudar a determinar el valor del campo eléctrico en un punto del espacio dada una distribución arbitraria de carga. Se utilizan superficies imaginarias, llamadas superficies gaussianas, para encerrar la distribución de carga y ayudan a simplificar el análisis matemático. La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico que sale de una superficie cerrada (densidad de línea de campo) es igual a la carga encerrada dividida por la constante de permitividad del espacio libre ({eq}\epsilon_0 {/eq}). A través de la derivación, también vemos que el flujo es algebraicamente igual a la intensidad del campo multiplicada por el área de interés. La forma general de la ley de Gauss es

{eq}\Phi_E=EA=\frac{Q_{enc}}{\epsilon_0} {/eq}

La ley de Gauss se aplica a muchas situaciones, pero se utiliza a menudo con distribuciones de carga puntual, lineal y superficial. Si bien una carga encerrada puede ser simple para una carga puntual, puede no serlo para un cable o una lámina infinitos. En estos casos, debemos considerar la densidad de carga, que es una medida de la carga por longitud, área o volumen. Para una carga lineal y superficial, entonces tendríamos que considerar {eq}\lambda =\frac{Q}{L} {/eq} o {eq}\sigma =\frac{Q}{A} {/eq}, respectivamente.

La aplicación de la ley de Gauss requiere práctica, pero si se utiliza la forma general con E y A, se puede simplemente reorganizar y resolver para E en cualquier situación de alta simetría. Es decir,

{eq}E=\frac{q_{enc}}{\epsilon_0 A} {/eq}

donde A es el área total de la superficie gaussiana (esfera, cilindro o cubo) que interseca el campo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador