Denominador mínimo común: definición y ejemplos

LCD: Analogía y definición

Imagina que tú y un grupo de amigos están pidiendo unas pizzas para cenar. Sin embargo, cada persona quiere un aderezo diferente. Por ejemplo, si cinco personas quieren pepperoni, probablemente necesitará pedir más de una pizza de pepperoni para asegurarse de que cada una tenga suficiente para comer. Pero si solo una persona quiere salchichas, una pizza con esa cobertura probablemente será suficiente.

El proceso por el que acabas de pasar, determinar la cantidad de un elemento de un grupo de elementos que se necesita, es similar a encontrar el mínimo denominador común entre un grupo de fracciones en matemáticas. Veamos cómo.

El mínimo común denominador (MCD), también conocido como mínimo común denominador, es el mínimo común múltiplo para todos los denominadores en un grupo de fracciones o expresiones racionales. En un grupo de números, el mínimo común múltiplo es el número más pequeño que se dividirá uniformemente en todos los números del grupo. Las expresiones racionales son solo fracciones que tienen variables en sus denominadores. Por ejemplo, el pedido de pizza que realizó fue similar a una pantalla LCD en el sentido de que el pedido era el menor número de pizzas que permitía a cada persona tener una cantidad suficiente de pizza con los ingredientes que deseaba.

La razón principal para encontrar el MCD en matemáticas es cuando tienes un problema en el que necesitas sumar o restar fracciones o expresiones racionales. Dado que los numeradores de fracciones solo se pueden combinar cuando las fracciones tienen denominadores idénticos, encontrar el MCD es algo que debe hacerse con bastante frecuencia.

Cómo encontrar la pantalla LCD

Para encontrar el MCD de dos o más fracciones, primero determine los factores para cada denominador identificando los factores primos. Por ejemplo, si una fracción tiene un denominador de 60, primero puede factorizarla como 6 * 10. Aquí, 2 veces 3 es igual a 6 y 2 veces 5 es igual a 10, entonces 60 = 2 * 2 * 3 * 5.

Repite este mismo proceso para todos los denominadores de tu problema hasta que tengas los factores primos para cada uno. Luego, encuentre el MCD multiplicando el número máximo de cada factor primo juntos.

Por ejemplo, digamos que tiene 60 y 42 como dos denominadores. Ya sabes que 60 = 2 * 2 * 3 * 5. Factorizar 42 te da 42 = 2 * 3 * 7. Ahora, contemos los factores. El número 2 aparece como máximo dos veces en una de las factorizaciones, mientras que 3, 5 y 7 aparecen solo una vez en cada una de las factorizaciones. Por lo tanto, la pantalla LCD será 2 * 2 * 3 * 5 * 7 o 420.

Hay un par de cosas importantes a tener en cuenta aquí. La primera es que solo necesitas dos 2, no tres, porque dos es el número máximo de veces que aparece un 2 en cualquiera de las factorizaciones. La segunda cosa a tener en cuenta es que podrías haber multiplicado para obtener el denominador común: 60 * 42 = 2520. Sin embargo, 2520 no es el mínimo o el mínimo común denominador.

Aunque es matemáticamente correcto usar 2520 como denominador común en lugar de 420, hará que los números en ambos numeradores sean más grandes de lo necesario y lo más probable es que requiera dedicar más tiempo a simplificar la respuesta final para mayor precisión. Con eso en mente, echemos un vistazo a algunos ejemplos más.

Problema de muestra n. ° 1

Encuentre la pantalla LCD para 2/15 y 3/8.

Aquí, los dos denominadores son 15 y 8. 15 = 3 * 5 mientras que 8 = 2 * 2 * 2. Para encontrar el MCD de 8 y 15, necesitarás tres 2, un 3 y uno 5. Multiplicar estos números da 2 * 2 * 2 * 3 * 5 o 120. Entonces, el LCD para 2/15 y 3/8 es 120.

Problema de muestra n. ° 2

Encuentre el LCD para 10/21, 1/4 y 5/12.

Aquí, los tres denominadores comunes son 21, 4 y 12. Factorémoslos:

• 21 = 3 * 7
• 4 = 2 * 2
• 12 = 2 * 2 * 3

Para determinar el LCD, necesitará dos 2, un 3 y un 7. Entonces, 2 * 2 * 3 * 7 = 84, que es el LCD para 10/21, 1/4 y 5/12.

Problema de muestra n. ° 3

Encuentre el LCD para la siguiente expresión:

No se trata de fracciones sino de dos expresiones racionales ya que cada uno de los denominadores tiene tanto números como variables. Sin embargo, el proceso para encontrar la pantalla LCD es similar. Si factorizas el primer denominador, x ^ 2 * y ^ 3 * z , deberías obtener x * x * y * y * y * z . Y, si factorizas el segundo denominador, deberías obtener x * y * y * y * y * z. Siguiendo el mismo proceso utilizado en los dos problemas de muestra anteriores, puede determinar el número de cada variable necesaria en la pantalla LCD. Por ejemplo, necesitará dos x s, cuatro y s y una z . Por lo tanto, la pantalla LCD será x ^ 2 * y ^ 4 * z .

Tenga en cuenta que cuando encuentre la pantalla LCD en problemas con variables, puede usar un atajo. En lugar de factorizar cada variable, tome la potencia más alta de cada variable de entre todos los denominadores para determinar el LCD. Por ejemplo, en este problema, la potencia más alta de x es 2 (en la primera expresión), la potencia más alta de y es 4 (en la segunda expresión) y la potencia más alta de z es 1 (la misma en ambas expresiones) . Esta es una coincidencia exacta para la pantalla LCD: x ^ 2 * y ^ 4 * z .

Resumen de la lección

Encontrar el mínimo común denominador (MCD) , o el mínimo común múltiplo para todos los denominadores en un grupo de fracciones o expresiones racionales, no es tan diferente de compilar una gran orden de pizza.

Cuando trabaje con fracciones, use la factorización para determinar los factores primos de cada denominador y luego multiplíquelos en función del número máximo de veces que aparecen. Cuando trabaje con variables, multiplique la potencia más alta de las variables individuales juntas para encontrar el LCD. Poder determinar el MCD entre un grupo de fracciones o expresiones es un concepto extremadamente importante en matemáticas, ya que a menudo se requiere para sumar o restar fracciones y expresiones racionales.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador