Encontrar el volumen de una esfera
¿Sabías que en algunas partes del mundo, la fruta llamada naranja es en realidad de color verde incluso cuando está completamente madura? Imagina una naranja verde perfectamente esférica.
El radio de una esfera es R . Es la distancia desde el centro de la esfera a cualquier punto de su superficie. Podemos calcular todo lo que necesitamos saber sobre la esfera a partir de su radio. En particular, podemos determinar el volumen de una esfera , V . El volumen es cuánto está contenido dentro de la esfera. El volumen de una esfera es simplemente:
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Para la naranja, el volumen nos dice algo sobre la cantidad de comida deliciosa que contiene.
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Uso de la integración para volumen
Podemos derivar esta ecuación cortando la esfera e integrando. Estos son los pasos.
Paso 1: Toma un corte vertical de la esfera.
Imagine cortar una naranja perfecta o cualquier otra esfera verticalmente. El camino del cuchillo está en azul.
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Paso 2: mira hacia abajo el eje y .
Si nos colocamos en algún lugar fuera de la esfera y miramos hacia abajo por el eje y hacia el origen, vemos la rebanada azul como un círculo con un radio z .
Área Superficial y Volumen de un Tubo: Ecuación y Cálculo
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El área de este círculo es π z 2 .
Paso 3: toma una vista lateral.
Ahora nos posicionamos fuera de la esfera a lo largo del eje x . Vemos el triángulo que estás mirando en tu pantalla ahora.
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Este es un triángulo rectángulo con un lado de la misma z verde que antes. La hipotenusa es R , el radio de la esfera. El otro lado de este triángulo es y . Del teorema de Pitágoras, z 2 + y 2 = R 2 . Resolviendo para z 2 :
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Paso 4: Tomar otra rebanada vertical y definir un volumen diferencial, d V .
Si tomamos otro corte vertical cerca del primer corte, podemos definir un volumen.
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El ancho del corte es d y y, como elemento diferencial, es realmente pequeño; tan pequeño, los dos cortes tienen el mismo radio y la misma área. En la figura, el tamaño de d y está exagerado. De lo contrario, no podríamos ver dos cortes separados. Es como si tuviéramos un cilindro como elemento de volumen. Sabemos que el volumen de un cilindro es el área de la base por la altura. El área de la base es el área del círculo, π z 2 y la altura es d y . El volumen en sí es un volumen diferencial que llamamos d V . Así,
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Paso 5: Integrar d V para encontrar el volumen total, V .
Reemplaza d V con π z 2 e integra:
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Reemplaza z 2 con R 2 – y 2 e integra de y = – R a y = R :
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Saca la constante π fuera de la integral. El anti-derivado de R 2 es R 2 y , y el anti-derivado de y 2 es y 3 /3. Evaluar desde y = – R hasta y = R :
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Sustituyendo el límite superior en la expresión anti-derivada y luego restando la sustitución del límite inferior en la expresión anti-derivada:
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Simplificando:
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Agrupar términos, factorizar 2 R 3 y simplificar.
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Como puede ver, este es nuestro volumen de una ecuación de esfera que queríamos derivar.
Cómo comparar dos esferas
Digamos que estás en el supermercado y estás tratando de decidir entre dos naranjas. Por supuesto, tienes una regla contigo, por lo que medir estas naranjas no es un problema. Una naranja tiene un diámetro de 10 cm mientras que la otra tiene un diámetro de 14 cm. Decides calcular los volúmenes de estos objetos casi esféricos.
Para la primera naranja, el radio es 10/2 = 5 cm mientras que el radio para la segunda naranja es 14/2 = 7 cm. ¡Excelente! Ahora, calculemos los volúmenes.
Para la naranja más pequeña, sustituya R = 5 en la ecuación de volumen:
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¡Son muchos centímetros cúbicos!
Ahora, para la naranja un poco más grande, R = 7. Comenzando con:
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La diferencia, 1438 – 524 = 714 cm 3 es más volumen que la más pequeña de las dos naranjas. La naranja más grande tiene casi tres veces el volumen, pero el aumento de radio es de solo 2 cm. ¿Esto tiene sentido?
Comparando los radios, tenemos 7 en comparación con 5; un aumento del 40%. Podemos comprobar: 1,4 x 5 = 7.
El radio se escala en 1,4, pero el volumen se escala en 1,4 3, que es 1,4 x 1,4 x 1,4 = 2,744. Por tanto, el volumen de la naranja más grande es 2.744 veces el volumen de la naranja más pequeña. Esto verifica porque 2.744 x 524 = 1.438.
Entonces, si está interesado en el volumen, compre naranjas más grandes, incluso si son solo un poco más grandes e incluso si son verdes.
Resumen de la lección
Repasemos brevemente lo que hemos aprendido aquí. El radio de una esfera es la distancia desde el centro de la esfera hasta cualquier punto de su superficie. Conocer el radio nos permite calcular el volumen. El volumen de una esfera nos dice cuánto de algo hay dentro de la esfera. La ecuación para encontrar el volumen de una esfera es:
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La forma general de derivar esta expresión es construir porciones de volumen diferencial y luego sumar todas estas porciones usando la integración.
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