¿Qué es la desviación estándar en una curva de campana?
La desviación estándar es una medida de dispersión o extensión dentro de una distribución. Para una curva de campana, se puede considerar que la desviación estándar mide aproximadamente el ancho de la campana central. Si la distribución es normal, alrededor del 68% de los valores estarán dentro de un rango de una desviación del valor medio central.
¿Cómo afecta la desviación estándar a una curva de campana?
La desviación estándar es una medida de dispersión o extensión dentro de una distribución. En el caso de una curva en campana, una desviación estándar más alta hará que la curva sea más ancha y menos profunda, mientras que una desviación más baja la hará más alta y más estrecha.
¿Cómo se clasifica una curva en una distribución normal?
La calificación en una curva se realiza asumiendo que las calificaciones de una clase siguen una distribución normal. La calificación real se puede determinar en función del puntaje z de un estudiante, midiendo su desempeño en términos de desviaciones estándar en relación con el promedio de la clase.
Desviación estándar y curva de campana
Los conjuntos de datos numéricos se pueden resumir y analizar mediante estadísticas descriptivas, es decir, mediciones de ciertas características esenciales del conjunto de datos. Dos propiedades clave de cualquier conjunto de datos son la tendencia central, medida utilizando un valor promedio como la media, y la dispersión o variación, que mide qué tan lejos están los valores del promedio central.
Una de las medidas de dispersión más importantes es la desviación estándar, que mide la diferencia típica que se puede esperar entre los valores individuales y el valor medio. La mayoría de los valores estarán dispersos dentro de una desviación por encima o por debajo de la media. Una desviación estándar pequeña indica que los valores del conjunto de datos están en su mayoría agrupados, mientras que una desviación estándar grande indica dispersión en un rango más amplio.
Hipérbola: forma estándar, definición, ecuaciones y ejemplos
La desviación estándar, denotada por {eq}\sigma {/eq}, se define como la raíz cuadrada de la varianza, la desviación cuadrática promedio entre valores individuales {eq}x_i {/eq} y el valor medio {eq}\ mu {/eq}:
$$\sigma = \sqrt{ \frac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i – \mu)^2 }{n} } \ \ \ \ \ \ \mathrm{donde} \ \ \ \ \ \ \mu = \frac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i }{n} $$
Un patrón común a muchos conjuntos de datos es ver valores agrupados simétricamente alrededor de un único valor central, con un número decreciente de puntos de datos cada vez más alejados de la media. La distribución de frecuencia resultante tiene una forma característica conocida como curva de campana: más alta en el medio y disminuyendo a ambos lados. Las mediciones de características físicas, como la altura y el peso, a menudo muestran este patrón: la mayoría de las personas son relativamente promedio y un número más pequeño es inusualmente bajo o alto, por ejemplo.
El valor de la desviación estándar estará relacionado con el ancho del cuerpo central de la curva de campana, donde se concentran la mayoría de los valores. Una desviación estándar mayor corresponderá a una curva más ancha y plana, distribuida en un rango más amplio de valores, aunque el valor exacto de la desviación no puede identificarse exactamente simplemente a partir del gráfico de una curva de campana.
Distribución normal
El término «curva de campana» se utiliza a menudo para referirse específicamente a la distribución normal. Se trata de una distribución de probabilidad continua, simétrica y con forma de campana, con un pico central en el valor medio (que coincide con la mediana y la moda, otras dos medidas de tendencia central). La distribución disminuye rápidamente por encima y por debajo del valor central, disminuyendo asintóticamente hasta cero.
Tabla de potencial de reducción estándar, cálculo y ejemplos
La ecuación que define la curva de la distribución normal es
$$f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{ 2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \derecha)^2} $$
Los parámetros {eq}\mu {/eq} y {eq}\sigma {/eq} determinan la media y la desviación estándar de la distribución. Por lo tanto, existen muchas distribuciones normales diferentes, con diferentes medias y desviaciones estándar, pero todas tienen la característica forma de campana.
La distribución normal es particularmente importante en estadística porque, según el teorema del límite central, describe la distribución muestral de la media. La distribución muestral cubre los posibles resultados cuando se calcula un valor promedio basado en una muestra aleatoria, que es un método básico de recopilación de datos científicos.
Si una distribución no es simétrica, entonces está sesgada y hay más valores en el lado izquierdo o derecho que en el otro. Una distribución está asimétrica negativamente si los valores están dispersos en un amplio rango en el lado izquierdo de la media, y está asimétrica positivamente si están más dispersos en el lado derecho. Visualmente hablando, las distribuciones con sesgo negativo a menudo muestran un pico en el lado derecho (positivo), mientras que las distribuciones con sesgo positivo muestran un pico en el lado izquierdo (negativo).
Mapa Conceptual del Modelo Estándar de la Física de Partículas
Si bien a menudo se pueden observar distribuciones normales al medir parámetros físicos, las distribuciones sesgadas son más probables en los datos financieros. Por ejemplo, la distribución de los ingresos laborales está sesgada positivamente, ya que la mayoría de las personas tienen ingresos bajos o moderados, ninguno por debajo de cero, pero hay un pequeño número de personas con ingresos altos dispersos en una gama muy amplia de valores.
Cómo leer una curva de campana
Si bien existen muchas distribuciones normales diferentes, todas tienen ciertas características subyacentes en común. Recuerde que la desviación estándar mide la distancia desde la media que contendrá «la mayoría» de los puntos de datos. Para las curvas de campana normales ahora puede ser más específico: «la mayoría» significa aproximadamente el 68%, sin importar cuál sea el valor preciso de la desviación estándar. Ampliarse a un rango de dos desviaciones por encima y por debajo de la media contendrá aproximadamente el 95% de los datos, y un rango de tres desviaciones incluye más del 99%. Esta propiedad de todas las distribuciones normales se conoce como regla empírica.
Según la regla empírica, todas las curvas de campana normales son, en cierto modo, proporcionales. Aproveche esto convirtiendo cualquier distribución normal a la distribución normal estándar, que tiene media {eq}\mu=0 {/eq} y desviación estándar {eq}\sigma=1 {/eq}. La fórmula para convertir a una puntuación {eq}z {/eq} estandarizada es
$$z = \dfrac{x-\mu}{\sigma} $$
La conversión de mediciones sin procesar a puntuaciones {eq}z {/eq} facilita la lectura e interpretación de distribuciones normales. Todos los valores se pueden expresar en una escala común, que representa un recuento de desviaciones estándar. Cualquier medición con una puntuación de {eq}z=0 {/eq} es exactamente promedio dentro de su distribución. Las puntuaciones positivas indican una medición que está por encima del promedio, mientras que las puntuaciones negativas están por debajo del promedio. Más específicamente, cualquier valor con una puntuación de {eq}z=1 {/eq} cae una desviación por encima de la media, mientras que puntuaciones de {eq}z=2 {/eq} y superiores cubren la pequeña proporción de valores que están dos desviaciones o más por encima del promedio, lo que significa que son relativamente grandes.todas estas funciones a su cuenta!
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