Diagramas de árbol en matemáticas: definición y ejemplos

Diagramas de árbol

¿Alguna vez has estado mirando dentro de tu armario tratando de averiguar qué ponerte y te has preguntado cuántos atuendos podrías combinar con tus diferentes blusas, pantalones y zapatos? En matemáticas, tenemos una herramienta para esto llamada diagrama de árbol. Un diagrama de árbol es una herramienta que usamos en matemáticas generales, probabilidad y estadística que nos permite calcular el número de posibles resultados de un evento, así como enumerar esos posibles resultados de manera organizada.

Un ejemplo común utilizado para introducir diagramas de árbol es encontrar el número de posibles resultados de lanzar dos monedas en sucesión. Sabemos que cuando lanzamos una moneda, caerá en cara o cruz, por lo que cuando lanzamos una de las monedas, tenemos dos resultados posibles: cara o cruz. Al crear un diagrama de árbol, lo representaríamos teniendo un punto de partida, luego dibujaríamos dos ramas desde ese punto de partida: una para cara y otra para cruz.

Diagrama de árbol para el primer lanzamiento de moneda.

Ahora, cuando lanzamos la segunda moneda, puede caer en cara o cruz. Por lo tanto, podríamos obtener cara en la primera moneda, y luego podríamos obtener cara o cruz en la segunda moneda, o podríamos obtener cruz en la primera moneda y luego sacar cara o cruz en la segunda moneda. En el diagrama de árbol, representamos esto dibujando dos ramas de cada una de nuestras últimas ramas. Estas ramas representan cara o cruz en el lanzamiento de la segunda moneda.

Diagrama de árbol para el segundo lanzamiento de moneda.

Nuestro diagrama de árbol muestra todos los resultados posibles de lanzar dos monedas en sucesión. Cada camino de ramas representa un resultado. En el diagrama, vemos que tenemos cuatro posibles resultados:

• Jefes, Jefes
• Cabezas, colas
• Colas, Cabezas
• Colas, Colas

El ejemplo del lanzamiento de una moneda es un ejemplo simple de un diagrama de árbol. Veamos algunos ejemplos más para familiarizarnos con esta herramienta matemática.

Ejemplos

En nuestro primer ejemplo, supongamos que está tratando de armar un atuendo para usar en un próximo evento al que planea asistir. Tienes tres pares de pantalones para elegir (P1, P2, P3); dos tapas (T1, T2); y dos pares de zapatos (S1, S2). ¿Cuántos atuendos posibles puedes hacer con estas prendas?

Para calcular la cantidad de conjuntos que tenemos que elegir, crearemos un diagrama de árbol. Desde nuestro punto de partida, primero consideraremos nuestras opciones de pantalones. Tenemos tres pares de pantalones para elegir, por lo que tendremos tres ramas saliendo de nuestro punto de partida. Sabemos que tenemos dos blusas para elegir, así que de cada una de las ramas de los pantalones, dibujaremos dos ramas: una para cada blusa. Por último, tenemos dos pares de zapatos para elegir, por lo que de cada una de las ramas de la camisa dibujaremos dos ramas más: una para cada par de zapatos.

Diagrama de árbol para opciones de atuendo.

Vemos que tenemos 12 caminos de ramas en total, por lo que podemos hacer 12 conjuntos con las prendas que tenemos. Cada camino representa un atuendo diferente. Por ejemplo, podríamos tener P1, T2 y S2, o P3, T1 y S2. A continuación, verá los 12 resultados posibles.

• P1, T1, S1
• P1, T1, S2
• P1, T2, S1
• P1, T2, S2
• P2, T1, S1
• P2, T1, S2
• P2, T2, S1
• P2, T2, S2
• P3, T1, S1
• P3, T1, S2
• P3, T2, S1
• P3, T2, S2

Veamos otro ejemplo. Si tuvieras que lanzar una moneda y luego elegir una bola de un recipiente que tiene una bola roja, una bola amarilla y una bola verde, ¿cuántos resultados posibles hay y cuáles son esos resultados?

Una vez más, queremos crear un diagrama de árbol para encontrar nuestros posibles resultados. Cuando lanzamos una moneda, tenemos dos resultados posibles, por lo que desde nuestro punto de partida, tendremos dos ramas: una para cara y otra para cruz. A continuación, elegiremos una bola. Hay tres bolas diferentes en el recipiente, por lo que de cada una de las ramas que representan el lanzamiento de la moneda, dibujaremos tres ramas: una para cada bola de color.

Diagrama de árbol para el resultado del lanzamiento de una moneda y el color de la bola.

Vemos que tenemos seis caminos de ramas, por lo que hay seis resultados posibles. Nuestros resultados incluyen:

• Cabezas y una bola roja
• Cabezas y una bola amarilla
• Cabezas y una bola verde
• Colas y una bola roja
• Colas y bola amarilla
• Colas y una bola verde

Resumen de la lección

Como un árbol real, un diagrama de árbol en matemáticas se ramifica y se expande. Vemos que es una herramienta sumamente útil en matemáticas generales, probabilidad y estadística. Al organizar nuestra información de esta manera, podemos identificar y contar fácilmente todos nuestros posibles resultados. Ahora que sabemos qué son estos diagramas de árbol y cómo crearlos, podemos agregarlos a nuestra caja de herramientas matemáticas y usarlos según sea necesario.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador