Distribución de Boltzmann: Definición, ecuación y curva de temperatura

Distribución Boltzmann

Después del descubrimiento de Newton de las leyes de la mecánica clásica, fue posible predecir la posición y la velocidad de un objeto basándose en su posición y velocidad actuales y el conocimiento de las fuerzas que actúan sobre él. Pero ¿se puede saber algo sobre sistemas para los cuales no es posible calcular la trayectoria de los objetos? Tomemos, por ejemplo, una colección de moléculas de aire en un recipiente cerrado. No es posible conocer la posición y la velocidad de las partículas individuales, pero aún se pueden realizar mediciones y observaciones útiles que describan el sistema.

El científico escocés James Clerk Maxwell llevó a cabo una importante investigación de dicho sistema en la década de 1860. Imaginó un sistema de partículas en movimiento dentro de una caja. El movimiento de partículas en un sistema de este tipo se parecía al de las personas en una estación de tren abarrotada, con individuos yendo en todas direcciones, algunos moviéndose rápidamente, otros lentamente y ocasionalmente chocando entre sí.

El sistema de partículas de gas que Maxwell consideró se muestra arriba. Todas las partículas son idénticas entre sí, aunque cinco se muestran en rojo para que al ojo le resulte más fácil seguir su trayectoria. Maxwell investigó partículas que se movían en tres dimensiones y en ocasiones chocaban entre sí y con las paredes del contenedor. Las partículas de gas se mueven en una dirección aleatoria con una velocidad aleatoria. Se supone que el tamaño de las partículas es mucho menor que la distancia entre las partículas, y se supone que una colisión es perfectamente elástica, lo que significa que chocan sin pérdida de energía cinética, como bolas de billar. Debido a que la energía total del sistema no cambia, es decir, la energía cinética total se conserva, la energía que una partícula podría ganar de una colisión (aumentando la velocidad de la partícula) debe provenir de otra partícula. Si uno acelera, otro debe frenar. La teoría cinética de los gases utiliza los supuestos anteriores para explorar las propiedades de los gases.

La velocidad de una partícula de gas individual no se puede determinar fácilmente, pero Maxwell descubrió que era posible calcular la distribución de velocidades de las partículas de gas. Para una velocidad dada, la distribución da la probabilidad de que una partícula en el sistema se mueva a esa velocidad.

La distribución de las velocidades de las partículas es función de la temperatura del sistema. Para comprender por qué la velocidad de las partículas y la rapidez están relacionadas con la temperatura, piense en el proceso de evaporación. Durante la evaporación, algunas partículas cercanas a la superficie de un líquido pasan a la fase gaseosa. Las partículas que escapan son las más rápidas, las que tienen más energía cinética, que proviene de las colisiones con otras partículas. Debido a que las partículas más energéticas se evaporan, la energía cinética promedio de las moléculas que quedan disminuye. Por tanto, la temperatura indica la energía cinética promedio de las partículas de un sistema.

Casi simultáneamente a las investigaciones de Maxwell, el físico austriaco Ludwig Boltzmann realizó investigaciones similares sobre la distribución de velocidades y, más generalmente, de energía, entre las partículas dentro de dicho sistema y publicó sus descubrimientos en 1871. Llegaron de forma independiente a la ecuación que describe la distribución de velocidades de las partículas. ; por ello se la conoce como distribución de Maxwell-Boltzmann, o distribución de Boltzmann.

Ecuación de distribución de Boltzmann

La distribución probable de la velocidad de las partículas en un gas se describe mediante:

{eq}f(v) = ({m \over 2\pi kT})^ {3 \over2} 4\pi v^2 e^{- mv^2 \over 2kT}. {/eq}

dónde

• v es la velocidad de la partícula
• m es la masa de la partícula,
• k es la constante de Boltzmann, igual a 1,3806452 X 10 ^-23 julios/Kelvin, y
• T es la temperatura del sistema.

La variable T, para temperatura, aparece dos veces en esta ecuación. El efecto de T en el término {eq}({m \over 2\pi kT})^ {3 \over2} {/eq} es hacer que el pico de la curva sea más pequeño a medida que T aumenta. El efecto de T en el término exponencial es que la curva se moverá hacia la derecha en el eje x a medida que T aumenta. Por lo tanto, la curva de distribución es más amplia y el pico más hacia la derecha a temperaturas más altas, y más estrecha y el pico más hacia la izquierda a temperaturas más bajas.

Curva de distribución de Boltzmann

A continuación se muestran las curvas de distribución de Boltzmann para diferentes gases a 25 grados Celsius (un poco más caliente que la temperatura ambiente). El eje x representa la velocidad. El eje y indica la probabilidad. Para cada curva, el área bajo la curva es igual a uno, porque la probabilidad total de encontrar una partícula con cualquier velocidad es uno. El pico de la curva es la velocidad más probable de una partícula en el sistema.

Es fascinante pensar en la velocidad de una partícula de gas típica. El helio-4, por ejemplo, indicado por la línea azul, es el isótopo de helio más abundante en la Tierra. La velocidad más probable de una partícula de helio es el pico de la curva, que se produce a unos 1.100 metros por segundo. Eso es 2.460 millas por hora. Las partículas de nitrógeno y oxígeno en el aire también golpean objetos a miles de kilómetros por hora, pero debido a sus pequeñas masas, tienen poco efecto sobre los objetos que golpean.

Los cuatro gases nobles que se muestran en orden creciente de masa son helio-4, neón-20, argón-40 y xenón-132. La imagen de arriba nos permite examinar el efecto de la masa en la distribución de Boltzmann. Cuando las partículas de un gas son más masivas, el pico se desplaza hacia velocidades más bajas (hacia la izquierda). Para una temperatura dada, la probabilidad de que una partícula masiva se mueva muy rápido es mucho menor que la probabilidad de que una partícula más ligera se mueva rápidamente. Recuerde, la energía cinética de una partícula es {eq}KE = {1 \over 2} {mv}^2{/eq}. La energía cinética de una partícula más masiva es mayor que la energía cinética de una partícula más ligera que se mueve a la misma velocidad.

Curva de distribución de Boltzmann y temperatura

La curva de distribución de Boltzmann cambia en función de la temperatura. Una temperatura más alta significa una mayor energía cinética promedio de las partículas en un sistema. Por tanto, un aumento de temperatura corresponde a un desplazamiento hacia la derecha del pico de la curva de Boltzmann ; la velocidad más probable de las partículas es mayor a mayor temperatura. A mayor temperatura, la probabilidad de que una partícula pueda acumular más energía a través de colisiones es mayor. Por tanto, la curva se ensancha a temperaturas más altas.

El siguiente gráfico muestra cómo la altura y la posición del pico cambian a tres temperaturas diferentes cuando todas las demás variables son constantes.

Como el número de partículas en el sistema permanece constante, el área bajo la curva también debe permanecer constante. Por lo tanto, a medida que la curva se ensancha a temperaturas más altas, el valor del pico debe disminuir para que el área bajo la curva permanezca igual. Cuando la curva se estrecha y se desplaza hacia la izquierda a temperaturas más bajas, el valor del pico aumenta para que el área bajo la curva permanezca sin cambios.

Resumen de la lección

La teoría cinética de los gases fue investigada por dos científicos, Maxwell y Boltzmann, quienes de forma independiente llegaron a una ecuación para describir la distribución de velocidades de las partículas en un gas. Por lo tanto, la distribución se denomina distribución de Maxwell-Boltzmann o distribución de Boltzmann. Las partículas en los sistemas estudiados por Maxwell y Boltzmann se mueven en una dirección y velocidad aleatorias. Debido a que la energía cinética se conserva en el sistema, cuando las partículas chocan, si una partícula acelera, otra debe disminuir su velocidad.

La distribución de Boltzmann es función de la masa de las partículas del sistema. El pico de la curva de distribución aparece a una velocidad menor en un sistema de partículas más masivas en comparación con el pico en un sistema de partículas más ligeras. Esto se debe a que las partículas más masivas requieren más energía cinética para moverse a altas velocidades que las partículas más ligeras. La ecuación de Boltzmann es función de la temperatura del sistema. Una temperatura más alta corresponde a una mayor energía cinética promedio de las partículas de un sistema. La temperatura afecta la curva de distribución desplazando el pico hacia la derecha, disminuyendo la altura del pico y ampliando la curva.