Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Definición y explicación

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma

Aquí es donde

son todas funciones de la variable independiente x . Alternativamente, podemos escribir (1) como

dónde

Es importante tener en cuenta lo que le muestra la ecuación aquí: que D tiene la propiedad de linealidad.

Por tanto, D es un operador lineal.

Estamos resolviendo la ecuación para y con A y f como funciones fijas. Los ejemplos de una ecuación diferencial lineal de primer orden incluyen:

y

Un ejemplo de apertura

Considere la ecuación diferencial:

Primero, observe que (2) toma la forma de (1). Nos gustaría escribir el lado izquierdo de (2) en la forma:

Aquí es donde se determina g . Esta identidad se conoce como la regla del producto para la diferenciación. De esta forma, cuando integremos ambos lados, el lado izquierdo será la integral de una derivada, que a su vez es la función original yg . No conocemos la función y , porque es para lo que estamos resolviendo. Si esto se puede lograr, la única integración en la que tendremos que pensar realmente es en la del lado derecho de (2).

Sin embargo, el lado izquierdo de (2) no tiene la forma deseada de derivado de un producto. Por tanto, introducimos un factor integrador , que es una función que, al multiplicar ambos lados de (2), obliga al lado izquierdo a ser la derivada de un producto de dos funciones. Es decir, queremos que el factor integrador h tenga la siguiente propiedad:

para alguna función g .

En la siguiente sección, aprenderemos que se puede derivar una fórmula para el factor de integración. Por ahora, usemos el método de prueba y error y supongamos que el factor de integración es h (x) = exp (x). Multiplicar ambos lados de (2) por este factor produce la ecuación:

Ahora podemos reescribir el lado izquierdo de (3) aplicando la regla del producto para la diferenciación, por lo que se convierte en:

A continuación, reconozca que si integramos el lado izquierdo de (4), obtenemos la función original. El lado derecho de (4) se convierte en la integral de la función respectiva en el lado derecho. También se introduce una constante de integración en el proceso. Una constante de integración indica que una función tiene infinitas anti-derivadas, pero todas con la excepción de una constante.

Por ejemplo, una anti-derivada de la función f = 1 es F = x , mientras que otra anti-derivada es F = x + 2. C , en la ecuación aquí, se asume aquí, ya que no hemos impuesto ninguna condición inicial. .

Antes de continuar, hagamos una pausa para hacer referencia a un método de integración que vamos a necesitar con frecuencia en los siguientes ejemplos: integración por partes. Para dos funciones cualesquiera u y v :

Ahora, usando la integración por partes, podemos evaluar la integral en el lado derecho de la ecuación, como puede ver aquí:

Luego, sustituyendo la ecuación (6) nuevamente en la ecuación (5), y luego multiplicando ambos lados por exp (-x) , obtenemos la solución general de (2):

Aquí es donde K es un número real.

Luego podemos verificar si (7) es la solución general por sustitución directa, que, como puede ver, es:

Un ejemplo

Echemos un vistazo a un ejemplo en profundidad para ayudar a ilustrar todo esto.

Pregunta: Encuentre la función que pasa por el punto (0, 5) y satisface la ecuación diferencial dada de:

Solución: Observe que la ecuación diferencial no está en la forma deseada dada en (1). Sin embargo, mediante un poco de álgebra básica, podemos reescribir nuestro ejemplo anterior como:

Al comparar esta última ecuación con nuestra ecuación original, vemos que el factor integrador está presente:

Ahora, aplicando la multiplicación del factor dado en nuestra ecuación de integración a la ecuación anterior, y luego integrando, obtenemos:

Podemos simplificar el lado derecho de esta ecuación aplicando primero la integración por partes:

La integral en el lado derecho de esta ecuación se puede evaluar mediante el truco de sumar y restar:

Ahora combinando los últimos tres pasos y resolviendo para y de la manera algebraica habitual, llegamos a la solución general:

Esta es nuestra solución general, pero con la información adicional por la que pasa la curva (0, 5), podemos insertar x = 0 en (17) y resolver la constante C :

Por tanto, la única solución es:

Resumen de la lección

Eso fue mucho, ¿no? Entonces, tomemos unos minutos para revisar los puntos importantes que hemos aprendido sobre las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma:

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, podemos usar un factor de integración , que es una función que obliga al lado izquierdo a ser la derivada de un producto de dos funciones. El propósito del factor integrador es expresar un lado de la ecuación diferencial en forma de:

Esto simplifica efectivamente la integración en un lado de la ecuación y realmente deja todo el trabajo de integración para el otro lado de la ecuación. A partir de ahí, todo se reduce a integrar el otro lado de la ecuación utilizando los métodos de aprendizaje de integración y luego resolver algebraicamente para y .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador