Encontrar intervalos de confianza con la distribución normal

Desviación Estándar

La realidad a menudo difiere de la teoría; en el mundo real, rara vez sabemos cuál es la verdadera desviación estándar de la población. La desviación estándar se refiere a la variabilidad de las observaciones individuales alrededor de su media. Pero para esta lección vamos a pretender que conocemos la desviación estándar poblacional denotada por el símbolo sigma y la usaremos para ayudarnos a construir el intervalo de confianza para la media poblacional , que a su vez se denota con el símbolo mu.

Un intervalo de confianza es un rango de valores que expresa la incertidumbre asociada con un parámetro, como la media de la población.

Casos donde esto se aplica

Hay tres casos posibles en los que esto se puede aplicar.

Caso 1 : se conoce la desviación estándar de la población. El tamaño de la muestra es pequeño (n <30). En otras palabras, n, el tamaño de la muestra, es menor que 30. Y la población se distribuye normalmente.

Caso II : Nuevamente, se conoce la desviación estándar de la población. Pero, esta vez, el tamaño de la muestra es grande (n> = 30). Esto significa que n es mayor o igual que 30.

En el Caso III : Nuevamente, se conoce la desviación estándar de la población. El tamaño de la muestra es pequeño (n <30). Y la población no está distribuida normalmente o no conocemos su distribución.

El tercer caso usa métodos no paramétricos para encontrar el intervalo de confianza para mu, lo que significa que usamos métodos inferenciales que no se refieren a parámetros, como la media poblacional o la desviación estándar poblacional.

Calcular el intervalo de confianza

En esta lección, nos centraremos en los dos primeros casos en los que usamos la distribución normal para hacer el intervalo de confianza para mu. En los dos primeros casos, calcularíamos el intervalo de confianza para mu usando las siguientes ecuaciones:

• Donde x barra denota el valor de la media muestral
• Sigma se refiere a la desviación estándar de la población
• Y n se refiere al tamaño de la muestra

El valor de z se encuentra aquí a partir de tablas de distribución normal estándar para un nivel de confianza dado. La cantidad de z veces sigma x barra es el margen de error y se indica con el símbolo E. En otras palabras, E = z veces (x) sigma x barra

Ejemplo

En pocas palabras, el margen de error (E) es la cantidad que restamos o sumamos a la barra x para obtener un intervalo de confianza para mu. Construyamos sobre esto para solidificar su conocimiento de toda esta terminología loca con un ejemplo real.

Una empresa de tecnología acaba de salir con un nuevo teléfono celular. Necesita averiguar el precio al que vender este teléfono calculando primero el precio promedio de todos los teléfonos celulares similares disponibles en el mercado. El departamento de investigación de mercado de la empresa toma una muestra de 16 teléfonos móviles comparables y descubre que tienen un precio medio de 500 dólares. El departamento de investigación de mercado también sabe que la desviación estándar poblacional de los precios de todos esos teléfonos celulares es de $ 100. Suponga que la población se distribuye normalmente. Construya un intervalo de confianza del 90% para el precio medio de todos los teléfonos móviles similares.

Primero, descubramos lo que sabemos. Sabemos que el tamaño de la muestra, n = 16. La media de la muestra, x barra es $ 500. Y la desviación estándar de la población (sigma) es de $ 100. La desviación estándar de la barra x es simplemente sigma, dividida por la raíz cuadrada de n, usando la ecuación mostrada antes. En nuestro caso, eso es simplemente 100/4, que es igual a $ 25. Usando las tablas de aquí, encontrará que el valor de z para un nivel de confianza del 90% es 1,65. En este punto, tiene todos los valores que posiblemente necesite para calcular el intervalo de confianza adecuado.

Recuerde nuestras ecuaciones de antes; el intervalo de confianza del 90% para mu es igual ax bar + – z veces sigma sub x bar. Simplemente conecte y trague para obtener 500 + – 1.65 (25). Eso es igual a 500 + – 41.25. Entonces, obtenemos $ 458.75 a $ 541.25. Este es nuestro intervalo de confianza. En otras palabras, tenemos un 90% de confianza en que el precio medio de todos estos teléfonos móviles está entre $ 458,75 y $ 541,25.

Resumen de la lección

Ahora sabe cómo construir intervalos de confianza a partir de poblaciones normales cuando se conoce la desviación estándar de la población. La desviación estándar es la variabilidad de las observaciones individuales alrededor de su media. La desviación estándar de la población en nuestras ecuaciones se denota con el símbolo sigma, mientras que la media de la población se denota con el símbolo mu. El margen de error (E) es la cantidad que restamos o sumamos a la barra x para obtener un intervalo de confianza para mu.

Usando las ecuaciones que revisamos, ahora debería poder usarlas y las tablas en esta página para construir intervalos de confianza en los dos casos que revisamos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador