Intervalos y proporciones de confianza
Comprender los intervalos de confianza y las proporciones puede resultar útil en la vida diaria. Por ejemplo, digamos que un día podría querer tener su propio negocio. Al hacerlo, es posible que desee averiguar la proporción o el porcentaje de clientes que están satisfechos con el producto que fabrica.
Para hacer esto, tendrá que realizar la estimación de una proporción de población y encontrar intervalos de confianza. Un intervalo de confianza es la estimación puntual +/- el margen de error y la estimación puntual es el valor de una estadística de muestra, que se utiliza como estimación de un parámetro de población .
Esta lección describirá cómo encontrar intervalos de confianza para proporciones.
Fórmulas importantes
La proporción de la población se indica con el símbolo p, mientras que la proporción muestral se indica con el símbolo p-hat . En esta lección aprenderemos a estimar la proporción de la población gracias a la proporción muestral.
Para muestras grandes:
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- La distribución muestral de p-hat es bastante normal
- La media de la distribución muestral de p-hat , denotada como mu_ p-hat , es igual a p
- La desviación estándar de la distribución muestral de p-hat , denotada como sigma_ p-hat , es igual a la raíz cuadrada de ( p x q ) / n , donde q = 1- p
Por cierto, cuando digo muestras grandes, quiero decir que en los casos de una proporción, la muestra es lo suficientemente grande cuando np y nq son ambos mayores que 5, donde n es el símbolo del tamaño de la muestra. Si usted no sabe lo que n o q son iguales a, entonces n x p-hat y n x q-hat debe ser superior a 5.
Puesto que no se sabe muy bien los valores de p y q cuando estamos estimando la proporción de la población, en realidad no podemos calcular el valor de la desviación estándar de la distribución muestral de p-hat . Esto significa que tenemos que usar el valor de s _ p-hat como una estimación de sigma_ p-hat .
Para calcular s _ p-hat puede utilizar la siguiente fórmula:
s_p-hat = raíz cuadrada de [( p-hat x q-hat ) / n ]
Nuevamente, s_p-hat es el estimador de la desviación estándar p-hat , sigma_ p-hat .
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De manera similar, p-hat es el estimador puntual de p . Por lo tanto, para encontrar el intervalo de confianza para p , necesitamos sumar y restar un número ay de p-hat que se llama margen de error (E) , el número sumado o restado de la estimación puntual .
El intervalo de confianza para p se calcula con la siguiente fórmula:
p-sombrero (+/-) z x s_p-sombrero
Donde el término z x s_p-hat es el margen de error.
Encontrará el valor de z en la tabla de distribución normal estándar para el nivel de confianza apropiado en la parte inferior de esta página.
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Ejemplo
¡Son muchas fórmulas! Repasemos un ejemplo juntos para mostrarle cómo se hace realmente. Este es un ejemplo completamente inventado, por cierto.
Una empresa de investigación ha tomado una muestra de 1.000 personas de entre 18 y 75 años. Les preguntó si el matrimonio era importante para ellos o no. El 60% de los encuestados afirmó que el matrimonio era, de hecho, importante para ellos.
Encuentre la estimación puntual de la proporción de población correspondiente. Luego, utilizando un nivel de confianza del 99%, encuentre el porcentaje de todas las personas entre las edades de 18 a 75 que también dirán que el matrimonio es importante para ellos. Encuentre el margen de error para esta estimación.
Siempre me gusta escribir primero los números que conocemos con seguridad.
Nuestro tamaño de muestra, n , es igual a 1000.
p-hat en este caso es 0,60 (de 60%), y esta es la estimación puntual de p .
q-hat = 1 – p-hat = 1 – 0.6 = 0.4
Esto significa que tenemos todos los números que necesitamos para averiguar s_p-hat . Simplemente conéctelo y pruebe la fórmula que le di antes para obtener:
s_p-hat = raíz cuadrada de [( p-hat x q-hat ) / n ]
= raíz cuadrada de [(0.6 x 0.4) / 1000]
= raíz cuadrada de (.24 / 1000)
= 0.015492
Usando las tablas de aquí, y recordando que estamos buscando el área en ambas colas de la curva de distribución normal, encontraríamos que los valores de z que necesitamos son aproximadamente -2.58 y 2.58. Es decir, z = 2,58. Esto se debe a que (1 – 0,99) / 2 = 0,0050 + 0,99 = 0,9950. Encontrará este valor en la tabla que mencioné antes muy cerca de 2.58.
Nuevamente, todo lo que tenemos que hacer es conectar y buscar en las fórmulas que les di antes para encontrar nuestro intervalo de confianza.
p-hat (+/-) z x s_p-hat = 0.6 (+/-) 2.58 (0.015492)
= 0.56 a 0.64
= 56% -64%.
Esto significa que podemos afirmar con un nivel de confianza del 99% que entre el 56% y el 64% de todas las personas entre 18 y 75 años afirmarán que el matrimonio es importante para ellos.
El margen de error es de 0,0399, que es básicamente el 4%.
Resumen de la lección
Usando todo lo que ha aprendido aquí, ahora debería poder resolver problemas similares por su cuenta.
Un intervalo de confianza es la estimación puntual +/- el margen de error ; la estimación puntual es el valor de una estadística de muestra, que se utiliza como estimación de un parámetro de población ; y el margen de error (E) , es el número que se suma o se resta de la estimación puntual .
La proporción de la población se indica con el símbolo p, mientras que la proporción muestral se indica con el símbolo p-hat .
Para calcular s_p-hat puede utilizar la siguiente fórmula:
s_p-hat = raíz cuadrada de [( p-hat x q-hat ) / n ]
El intervalo de confianza para p se calcula con la siguiente fórmula:
p-sombrero (+/-) z x s_p-sombrero
Donde el término z x s_p-hat es el margen de error.
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