Energía Potencial: Definición, aplicación y ejemplos

¿Cuál es el significado de la energía potencial?

Cuando un objeto se mueve, tiene energía cinética, pero ¿qué sucede cuando algo frena el objeto en movimiento? ¿Qué pasa con la energía cinética que tenía? ¿Desaparece? ¿Se puede recuperar? La respuesta a estas preguntas depende de qué tipo de fuerza provocó que el objeto en movimiento desacelerara o se detuviera. Para frenar un objeto en movimiento, se debe aplicar una fuerza, y esa fuerza trabaja sobre el objeto, lo que hace que su energía se transforme en otras formas de energía. En algunos casos, como cuando la fricción hace que un objeto en movimiento disminuya la velocidad, la energía cinética se transforma en energía térmica. La fricción se conoce como fuerza no conservativa porque crea energía térmica que no se puede convertir fácilmente en energía cinética.

En otros casos, sin embargo, se crea una forma de energía almacenada conocida como energía potencial. Esto sucede cuando la fuerza es una fuerza conservativa. Algunos ejemplos de fuerzas conservativas son la gravedad y la fuerza ejercida por materiales elásticos como los resortes. Si la energía cinética se convierte en energía potencial mediante una fuerza conservativa, entonces es muy fácil que esa energía se convierta nuevamente en energía cinética. Piense en lo que sucede si una persona sostiene una pelota sobre el suelo en la mano. Tan pronto como se retira la mano, la energía potencial de la pelota se convertirá nuevamente en energía cinética y la pelota caerá. Lo mismo ocurre con un resorte. Si un resorte se estira o comprime, tiene energía potencial elástica. Tan pronto como se suelta el resorte, esa energía volverá a convertirse en energía cinética y el resorte volverá a su longitud original.

Esto es exactamente lo que le sucede a un saltador de puenting. Antes del salto, la persona dispone de energía potencial en forma de energía potencial gravitacional. A medida que caen, esa energía potencial se convierte en energía cinética, lo que hace que la persona caiga cada vez más rápido hasta que la cuerda queda tensa. Sin embargo, una vez que la cuerda comienza a estirarse, la energía cinética se transforma en energía potencial elástica a medida que el saltador disminuye la velocidad y finalmente se detiene antes de tocar el suelo.

Definición de energía potencial elástica

Siempre que se estira un resorte, ejerce una fuerza en la dirección opuesta. Esta fuerza siempre intenta restaurar el resorte a su longitud original, por lo que se la conoce como fuerza de restauración. A diferencia de muchas otras fuerzas, la fuerza restauradora ejercida por un resorte no es constante. A medida que el resorte se estira cada vez más, la fuerza también aumenta. Si la fuerza ejercida por el resorte ( F ) se traza en función de la distancia que se estira ( x ), la gráfica forma una línea recta y la pendiente de la línea es igual a la constante del resorte ( k ). La constante del resorte varía dependiendo de qué tan rígido o flexible sea el resorte. Por ejemplo, una banda elástica actúa como un resorte cuando se estira, pero tiene una constante elástica relativamente pequeña porque es fácil de estirar y no es muy rígida. Por el contrario, los resortes muy rígidos, como los que ayudan a sostener un automóvil y evitar que rebote hacia arriba y hacia abajo, tienen constantes elásticas mucho mayores.

La relación matemática entre la fuerza ejercida por un resorte y su desplazamiento se conoce como ley de Hooke:

$$F_{s}=-kx $$

Hay un signo negativo en la Ley de Hooke porque la fuerza siempre se ejerce en dirección opuesta al desplazamiento del resorte ( x ).

Cuando un resorte se estira, no sólo ejerce una fuerza, sino que también almacena energía potencial elástica. Para entender cómo calcular la energía potencial elástica almacenada por un resorte, es importante comprender primero la relación entre el trabajo y la energía almacenada. Siempre que se ejerce una fuerza sobre un objeto a cierta distancia, esa fuerza realiza un trabajo mecánico sobre el objeto, y el trabajo realizado por la fuerza es igual al cambio en la energía del objeto.

$$W=\Delta E=F\cdot \Delta x $$

A medida que se estira el resorte, una fuerza externa realiza trabajo sobre él, y ese trabajo da como resultado un aumento en la energía potencial elástica del resorte. Cuando se suelta el resorte, esa energía potencial elástica vuelve a convertirse en energía cinética y el resorte vuelve a su longitud original.

Fórmula y derivación de la energía potencial elástica.

La energía potencial elástica almacenada en un resorte estirado o comprimido se puede encontrar calculando el trabajo realizado por la fuerza restauradora. Sin embargo, este no es un proceso sencillo porque la fuerza restauradora no es constante.

Hay dos formas de encontrar el trabajo realizado por una fuerza no constante; uno que se basa en el análisis de la gráfica de fuerza versus desplazamiento que se muestra en la figura, mientras que el otro usa cálculo integral. En ambos casos, las unidades de energía potencial elástica son las mismas que se utilizan para otras formas de energía. En el sistema de unidades SI, los julios son las unidades más comúnmente utilizadas para medir la energía, incluida la energía potencial elástica.

Método gráfico

Para encontrar el trabajo realizado por una fuerza no constante usando el método gráfico, primero cree una gráfica de fuerza ( F ) versus desplazamiento ( x ). Esto forma una línea recta y el trabajo realizado es el área bajo esta línea. El área se puede encontrar calculando el área de un triángulo, donde la altura es F y la base es x.

$$W=área=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}Fx $$

La ley de Hooke dice que la magnitud de la fuerza viene dada por {eq}F=kx {/eq}. Sustituyendo esto en la ecuación de trabajo se obtiene:

$$W=\frac{1}{2}(kx)x=\frac{1}{2}kx^{2} $$

Recuerde que el trabajo realizado es igual al cambio de energía potencial elástica del resorte. Por tanto, la energía potencial elástica almacenada en un resorte es igual a:

$$U_{s}=\frac{1}{2}(kx)x=\frac{1}{2}kx^{2} $$

Método de cálculo

La energía potencial elástica almacenada en un resorte también se puede calcular mediante cálculo. La integral de una función es igual al área bajo la gráfica de esa función, entonces para la fuerza del resorte:

$$W=\int_{0}^{x}(kx)dx=\frac{1}{2}kx^{2} $$

Al igual que el método gráfico, el método basado en cálculo demuestra que la energía potencial elástica almacenada en un resorte viene dada por:

$$U_{s}=\frac{1}{2}kx^{2} $$

Ejemplos de ecuación de energía potencial elástica

La ecuación de la energía potencial elástica se puede utilizar para comprender cómo se almacena la energía en materiales elásticos y resortes, así como para realizar cálculos numéricos. Veamos algunos ejemplos de cómo utilizar la ecuación de energía potencial elástica.

Preguntas conceptuales

1. Se utiliza un resorte para disparar una bala con una pistola accionada por resorte. Si luego el resorte se comprime el doble, ¿cómo afecta esto a la velocidad de la bala cuando sale del arma?

Para responder a esta pregunta, primero piense en la Ley de Conservación de la Energía, que dice que la energía total en un sistema cerrado es constante. En este caso, se puede definir un sistema que contiene tanto la bola como el resorte. Cuando se comprime el resorte, toda la energía del sistema toma la forma de energía potencial elástica; pero cuando se suelta el resorte, toda esa energía potencial se transforma en energía cinética ({eq}K=\frac{1}{2}mv^{2} {/eq}).

$$E_{inicial}=E_{final} $$

$$\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}mv^{2} $$

Según esta ecuación, si el resorte se comprime el doble ( x se duplica), entonces la velocidad de la bola cuando sale del resorte ( v ) también es el doble.

2. Se utiliza la misma pistola con resorte para disparar una pelota directamente al aire. Si el resorte se comprime el doble, ¿cuánto más sube la bola antes de detenerse y girar?

Esta pregunta también puede responderse pensando en la Ley de Conservación de la Energía. En este caso, la energía potencial elástica de la pelota se convierte en energía potencial gravitacional ({eq}U_{g}=mgh {/eq}) a medida que la pelota viaja hacia arriba en el aire.

$$E_{inicial}=E_{final} $$

$$\frac{1}{2}kx^{2}=mgh $$

Reorganizar esta ecuación para resolver h muestra que la altura de la pelota es proporcional a {eq}x^{2} {/eq}.

$$h=(\frac{\frac{1}{2}k}{mg})x^{2} $$

Por tanto, como 2 al cuadrado es 4, si se duplica x, la altura que alcanzará la pelota será 4 veces mayor.

Preguntas numéricas

1. Usando la misma pistola cargada por resorte, determine la constante elástica del resorte si se almacenan 10 J de energía potencial elástica en el resorte cuando se comprime 2 cm.

En este problema, la ecuación de la energía potencial elástica se puede utilizar para realizar cálculos numéricos. Para calcular la constante del resorte, primero reorganice la ecuación de energía potencial elástica para resolver k.

$$k=\frac{2U_{s}}{x^{2}} $$

A continuación, convierta todos los valores dados en el problema a unidades SI estándar. En este problema, x = 2 cm, que debe convertirse a 0,02 m.

Luego, usa la ecuación para calcular la constante del resorte en unidades de N/m.

$$k=\frac{2(10\: J)}{(0,02\: m)^{2}}=50.000\: N/m $$

2. Si el mismo resorte se comprime 4,0 cm, ¿a qué velocidad saldrá del resorte una bola de 100 g?

Ahora que se conoce la constante del resorte, se puede calcular la velocidad de la pelota. Recuerde que la energía se conserva de modo que toda la energía potencial elástica inicial se convierte en energía cinética.

$$\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}mv^{2} $$

Resolver esta ecuación para v da:

$$v=\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot x $$

Para encontrar la velocidad de la pelota, sustituya k = 50 000 N/m. m = 0,1 kg y x = 0,04 m en esta ecuación.

$$v=\sqrt{\frac{50000\: N/m}{0.1\: kg}}\cdot 0.04\: m=28.3 \: m/s $$

3. Si el resorte se comprime 5,0 cm, ¿a qué altura podrá lanzar la misma bola de 100 g?

Una vez más, la energía se conserva, pero aquí la energía potencial elástica se convierte en energía potencial gravitacional.

$$\frac{1}{2}kx^{2}=mgh $$

Resolviendo esta ecuación para h y luego sustituyendo los valores dados ( x = 0,05 m, m = 0,1 kg, k = 50.000 N/m) se obtiene:

$$h=(\frac{\frac{1}{2}k}{mg})x^{2}= (\frac{\frac{1}{2}(50000\: N/m)}{ (0.1\: kg)(9.8 \: \frac{m}{s^{2}})})(0.05\: m)^{2}=63.8 \: m $$

Resumen de la lección

La energía potencial es energía que se almacena dentro de un sistema. Se puede convertir fácilmente en energía cinética. Una forma de energía potencial, conocida como energía potencial elástica, es la energía que se almacena en resortes u otros materiales elásticos cuando se estiran o comprimen.

La fuerza que ejerce un resorte que se deforma está dada por la Ley de Hooke.

$$F_{s}=-kx $$

Esta fuerza se conoce como fuerza restauradora porque siempre actúa en una dirección para restaurar el resorte a su longitud original. La constante elástica ( k ) de un resorte es una medida de qué tan difícil es estirar o comprimir el resorte. Los valores mayores de k indican que el resorte es más rígido y los valores más pequeños indican que el resorte es más flexible.

La energía potencial elástica almacenada en un resorte viene dada por:

$$U_{s}=\frac{1}{2}kx^{2} $$

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