Escribir la inversa de funciones logarítmicas

La función logarítmica

La función logarítmica es f (x) = log sub b ( x ), donde b es un número mayor que 0 pero no 1. La b también se llama la base de la función logarítmica. Además, cuando se hace referencia al logaritmo, a menudo se utiliza la versión abreviada, log. Verás que utilizo la versión abreviada ‘log’ en esta lección en video, así como el logaritmo de palabras completas.

La función de registro.

Cuando la base b del logaritmo es igual a 10, normalmente no lo escribimos. Entonces, nuestra función con una base de 10 se escribe simplemente como f (x) = log ( x ). No escribimos el 10 porque 10 es la base estándar, y cuando no se escribe ninguna base, se entiende que es el 10 estándar. Puedes recordar que 10 es la base estándar observando el número de dedos de manos y pies que casi todo el mundo tiene. Las personas generalmente tienen un estándar de 10 dedos de manos y 10 dedos de los pies. Hay otra base que no escribimos, y esa es el número e , que es aproximadamente 2.71828. Cuando e es la base, llamamos al logaritmo logaritmo natural y escribimos la función como f (x) = ln ( x). Para todas las demás bases, lo escribimos como un subíndice inmediatamente después de la palabra ‘iniciar sesión’ en funciones.

La función inversa

La inversa de una función es la inversa de la función. La notación de la inversa es f ^ -1 ( y ). Usando esta notación, si f (a) = c , entonces f ^ -1 (c) = a . Ambas declaraciones dicen lo mismo, y podemos usar cualquiera de las fórmulas para escribir esta misma relación. Reemplazando números, si f (1) = 2, entonces f ^ -1 (2) = 1. Puedes pensar en esto como la función yendo en una dirección y la función inversa yendo en la dirección opuesta. Podemos combinar toda esta información en una fórmula: f (f ^ -1 (x)) = x .

Funciones inversas.

Algunas funciones en matemáticas tienen una función inversa conocida. La función de registro es una de estas funciones. Sabemos que la inversa de una función logarítmica es exponencial. Entonces, sabemos que la inversa de f (x) = log sub b ( x ) es f ^ -1 (y) = b ^ y . Si la base es e y estamos tratando con el logaritmo natural, entonces la inversa de f (x) = ln ( x ) es f ^ -1 (y) = e ^ y . Reescribiendo estas relaciones sustituyendo f (x) con y y f ^ -1 (y) con x , vemos que la inversa de y = log sub b ( x) es x = b ^ y y la inversa de y = ln ( x ) es x = e ^ y . Tanto la función inversa como la original establecen la misma relación, por lo que podemos usar cualquiera de las fórmulas. Es como las fórmulas para convertir la temperatura de Fahrenheit a Celsius y viceversa. Podemos usar cualquiera de estas fórmulas para establecer la misma relación.

Equivalentes de función y función inversa.

Vamos a utilizar esta información para ayudarnos a descubrir la inversa de otras funciones que involucran registros.

Preparando el problema

Veamos cómo se hace esto. Digamos que queremos encontrar la inversa de la función f (x) = log sub3 ( x + 2) – 4.

La función original.

Para establecer nuestro problema, usaremos lo que sabemos de las inversas, que la función de una inversa es simplemente x . Si conectamos nuestro inverso para nuestra x , entonces nuestra función será igual a x misma. Vamos a hacer eso.

Preparando el problema.

Observe que he insertado la notación para nuestra función inversa siempre que tenga una x .

Resolviendo lo inverso

Ahora, el siguiente paso es resolver nuestra notación de función inversa. Para hacer eso, primero necesitamos aislar nuestro registro. Para hacer esto, usamos álgebra para mover todos los demás números al otro lado. Tenemos un -4 en el mismo lado que nuestro tronco, así que lo agregaremos a ambos lados para moverlo.

Aislar el registro.

Ahora que hemos aislado la función logarítmica, usamos lo que sabemos de la relación inversa. Sabemos que la relación inversa es la misma que la relación original, por lo que reescribiremos el registro usando su relación exponencial inversa. Recordamos que si log sub b (x) = y , entonces la relación inversa es b ^ y = x . Si reescribimos nuestro problema usando la forma exponencial, podemos aislar la notación de la función inversa y resolverla para obtener nuestra respuesta. Eso es lo que haremos.

Escribiendo la función inversa equivalente.

Para obtener nuestra notación de función inversa por sí misma, todo lo que tenemos que hacer ahora es mover el +2. Para hacer eso, lo restamos de ambos lados.

Obteniendo la respuesta.

Al hacer esto, encontramos que nuestra respuesta es la función inversa de 3 ^ ( x + 4) – 2.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que la función logarítmica es f (x) = log sub b (x) , donde b es un número mayor que 0 pero no 1. La inversa de una función es la inversa de la función, y la anotamos con f ^ -1 (y) . Ahora también sabemos que la inversa de y = log sub b (x) es x = b ^ y y la inversa de y = ln (x) es x = e ^ y . Debido a que la función inversa invierte la función original, también sabemos que si conectamos la función inversa a la función original, obtendremos xsí mismo. Tanto la función como su inversa establecen la misma relación, por lo que podemos reescribir nuestras funciones usando la forma inversa y viceversa. Para encontrar las funciones inversas de nuestras funciones de registro, usaremos toda esta información para ayudarnos. Conectamos la notación de nuestra función inversa en nuestra función original y la igualamos ax , y luego resolvemos la notación de la función inversa. Si es necesario, reescribimos en forma inversa para poder aislar la notación de la función inversa y encontrar nuestra respuesta. Resultados de aprendizaje Termine esta lección y luego demuestre su capacidad para:

• Enuncie la ecuación para una función logarítmica y su inversa.
• Escribe las ecuaciones para una función y su función inversa equivalente.
• Recordar la base estándar para un logaritmo
• Calcular la inversa de una función logarítmica

Rodrigo Ricardo Editor y fundador