Forma escalonada reducida: definición y ejemplos

Revisión de la matriz

Antes de entrar en la forma escalonada reducida de una matriz, debemos asegurarnos de que estamos al tanto de los conceptos básicos de las matrices. Primero, ¿por qué nos preocupan las matrices? Las matrices se pueden usar para resolver una variedad de problemas matemáticos y estadísticos aplicados, incluida la resolución de un sistema de ecuaciones lineales, el procesamiento de gráficos por computadora e incluso el cifrado de mensajes para que la información permanezca en secreto.

Entonces, ¿qué es una matriz? Una matriz es una matriz (o tabla) de números. Piense en ello como una cuadrícula rectangular donde los números están ordenados en filas y columnas. Hablamos del tamaño de una matriz por la cantidad de filas y columnas que tiene (en ese orden). Una matriz de 4 por 5 (también escrita 4 x 5) tiene 4 filas y 5 columnas, como la matriz que se muestra.

Cuando clasificamos una matriz en diferentes formas, estamos hablando de la disposición de los números dentro de la matriz. Ciertos patrones pueden resultar ventajosos para resolver problemas específicos. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, lo que queremos es la forma escalonada reducida de una matriz.

Forma escalonada

Antes de discutir la forma escalonada reducida, deberíamos hablar brevemente sobre la forma escalonada regular . Una matriz está en forma escalonada por filas si se cumplen todas las condiciones siguientes:

• Cada fila contiene solo ceros hasta la primera entrada distinta de cero
• Cada entrada inicial distinta de cero de una fila está en una columna a la derecha de todas las entradas iniciales distintas de cero en las filas superiores.
• Las filas que contienen todos los ceros están debajo de las filas que tienen entradas distintas de cero

Forma escalonada reducida

La forma escalonada reducida es más restrictiva en su construcción. Además de estar en forma escalonada por filas, tenemos dos criterios adicionales: las entradas principales tienen que ser el número 1, y por encima y por debajo de estas entradas 1 principales solo podemos tener cero entradas.

Poniendo todo esto junto, podemos decir que una matriz está en forma escalonada reducida si se cumplen todas las siguientes condiciones:

• Cada fila contiene solo ceros hasta la primera entrada distinta de cero, que debe ser un 1
• Cada 1 inicial de una fila está en una columna a la derecha de todas las entradas 1 iniciales en las filas superiores
• Las filas que contienen todos los ceros están debajo de las filas que tienen un 1 al principio
• Todas las entradas por encima y por debajo del 1 inicial deben ser cero

Tenga en cuenta que no hay restricción de tamaño para la forma escalonada de filas reducida, lo que significa que cualquier matriz de cualquier tamaño puede tener una forma escalonada de filas reducida. Por ejemplo, estas matrices cumplen con todos los criterios para la forma escalonada reducida:

Sin embargo, estas matrices no están en forma escalonada reducida:

Es importante que observemos la ubicación de los primeros 1, miremos arriba y debajo de ellos para confirmar que no vemos nada más que ceros, y asegurarnos de que las filas que contienen solo ceros estén en la parte inferior. Se deben cumplir todas y cada una de las condiciones para que se considere en forma escalonada reducida.

Una nota sobre las calculadoras

Una nota rápida sobre las calculadoras: la mayoría de las calculadoras gráficas tienen la capacidad de poner una matriz en forma escalonada reducida. Busque una función en su menú de matriz llamada RREF (que significa forma escalonada reducida). Luego, ingrese su matriz y su calculadora le dará rápidamente la matriz en forma escalonada reducida. ¡Neato!

Resumen de la lección

Una matriz es una matriz rectangular de números dispuestos en filas y columnas. Aunque hay muchas formas en las que puede estar una matriz, es una forma escalonada si cada entrada inicial distinta de cero está a la derecha de todas las entradas iniciales distintas de cero en las filas superiores y cualquier fila que contenga solo ceros está en El fondo.

Para la forma de escalón de fila reducida , debe estar en forma de escalón de fila y cumplir con los criterios adicionales de que la primera entrada en cada fila es un 1, y todas las entradas por encima y por debajo del 1 inicial son cero. Siempre que inspeccione cuidadosamente una matriz, debería ser fácil identificar cuándo está en forma escalonada reducida.