Función cúbica: definición, fórmula y ejemplos

Funciones cúbicas

La Tierra en la que vivimos es un planeta increíblemente grande. ¿Alguna vez te has preguntado cuánto espacio hay dentro de la Tierra? En otras palabras, ¿te has preguntado alguna vez cuál es el volumen de la Tierra?

La respuesta está en lo que se llama función cúbica en matemáticas. Una función cúbica se puede describir de diferentes formas. Técnicamente, una función cúbica es cualquier función de la forma y = un x 3 + b x 2 + c x + d , donde un , b , c , y d son constantes y una no es igual a cero. Si quisiéramos describir este tipo de función con palabras en lugar de con fórmulas, diríamos que una función cúbica es cualquier función polinomial donde el mayor exponente es igual a 3.

Funciones cúbicas: ejemplo de caja

Consideremos un ejemplo clásico de función cúbica. Suponga que se muda y necesita colocar algunas de sus pertenencias en una caja, pero se le acaban las cajas. Sin embargo, tiene un pedazo grande de cartón con un largo de 36 pulgadas y un ancho de 30 pulgadas, algunas tijeras y cinta de boxeo.

¡Estás de suerte! Puedes hacer una caja con estos materiales cortando cuadrados en cada una de las esquinas del pedazo de cartón y luego doblando los lados hacia arriba y pegando con cinta adhesiva los lados.

¡Excelente! Ahora sabemos cómo hacer una caja, pero nos damos cuenta de que necesitamos saber cuál es el volumen de nuestra caja para saber si nuestras pertenencias caben dentro de la caja. Podemos calcular esto usando una función cúbica que represente el volumen de nuestra caja en función de la longitud de los lados de los cuadrados que cortamos de cada esquina. Llamemos x a la longitud de los lados de cada uno de los cuadrados recortados de las esquinas .

Cuando cortamos las esquinas cuadradas y doblamos los lados, la base de nuestra caja tiene dimensiones iguales a las longitudes de los lados de nuestra pieza de cartón menos 2 x .

Esto se debe a que tomamos dos longitudes de x de cada uno de los lados de la pieza de cartón cuando cortamos los cuadrados en cada esquina. De manera similar, la altura de nuestra caja es x , porque cuando doblamos los lados de la caja, la longitud de los lados de los cuadrados que cortamos de cada esquina se convierte en nuestra altura.

Vemos que tenemos una caja con alto x , largo 36 – 2 x y ancho 30 – 2 x . El volumen de la caja viene dado por la fórmula largo x ancho x alto, por lo que tenemos:

V = (36 – 2 x ) (30 – 2 x ) ( x )

Multiplicar esto da:

V = 4 x 3 – 132 x 2 + 1080 x

Esta función es un polinomio con su máximo exponente igual a 3, por lo que tenemos una función cúbica. Podemos calcular nuestro volumen en función del tamaño que decidamos cortar nuestras esquinas cuadradas. Por ejemplo, si decidimos cortar nuestros cuadrados para que tengan una longitud de lado de 10 pulgadas, entonces el volumen de nuestra caja sería:

V = 4 (10) 3 – 132 (10) 2 + 1080 (10) = 4000 – 13,200 + 10,800 = 1600

Si este no es el volumen que queremos, podemos ajustar el tamaño de las esquinas cuadradas que cortamos en consecuencia, por lo que vemos que esta es una fórmula muy útil.

Funciones cúbicas: más ejemplos

Las funciones cúbicas aparecen bastante en fórmulas y aplicaciones de volumen. Por ejemplo, el volumen de una esfera en función del radio de la esfera es una función cúbica. De manera similar, el volumen de un cubo en función de la longitud de uno de sus lados es una función cúbica.

Podemos usar estas funciones cúbicas para calcular el volumen de esferas y cubos. Considere un cubo con una longitud de lado de siete centímetros. Conectando siete en nuestra fórmula de volumen de cubo, vemos que el volumen de este cubo sería 7 * 7 * 7 = 343 centímetros cúbicos.

Volumen de la Tierra

Podemos usar una función cúbica para encontrar el volumen de la Tierra.

Ahora volvamos al ejemplo de la Tierra. Ahora tenemos las herramientas para calcular el volumen de la tierra. Sabemos que es una esfera, por lo que podemos calcular el volumen de la Tierra si conocemos el radio, la distancia entre el centro de la Tierra y la superficie de la Tierra.

Esta distancia es de aproximadamente 3.960 millas, más o menos unas pocas millas. Por lo tanto, usando la función cúbica que representa el volumen de una esfera, podemos calcular el volumen aproximado de la Tierra como:

(4/3) π * (3960) 3 = aproximadamente 260 mil millones de millas cúbicas

¡Vaya, todo eso bajo nuestros pies! Sabíamos que la Tierra era grande, pero esto realmente la pone en perspectiva.

Graficar funciones cúbicas

Al tratar de dar sentido a los datos en el mundo real, la capacidad de reconocer patrones visuales puede ser de gran ayuda. Trazar una función en un gráfico nos permite traducir esa función en un patrón visual.

Veamos algunos ejemplos de cómo se ven las funciones cúbicas cuando se grafican. Empezaremos por lo más básico:

y = x 3

Si conectamos los números enteros -5 a 5, obtenemos las siguientes coordenadas para trazar en nuestro gráfico:

• (-5, -125)
• (-4, -64)
• (-3, -27)
• (-2, -8)
• (-1, 1)
• (0, 0)
• (1, 1)
• (2, 8)
• (3, 27)
• (4, 64)
• (5, 125)

Trace esas coordenadas y obtenemos el siguiente patrón:

Observe cómo el patrón se centra en un solo punto y se extiende tanto hacia arriba como hacia abajo desde ese punto. Se extiende infinitamente en ambas direcciones. Si la relación de aspecto del eje y al eje x fuera 1: 1, el patrón sería más pronunciado y estrecho.

La gráfica de una función cúbica tiene un punto central desde el cual se extiende infinitamente tanto hacia arriba como hacia abajo, cruzando el eje x al menos una vez. Este punto central se llama punto de inflexión .

En el caso de y = x 3 , el punto de inflexión son las coordenadas (0, 0), pero podría estar en otra parte. Por ejemplo, existe la función cúbica completa y = x 3 + 9 x 2 + 27 x + 27.

El patrón tiene la misma forma que el primero, pero con un punto de inflexión diferente. Eso es porque esta segunda función cúbica se puede reescribir como y = ( x +3) 3 , lo que nos dice que su patrón es el de y = x 3 desplazado 3 puntos hacia la izquierda.

Tenga en cuenta que no todas las funciones cúbicas tienen una forma tan suave como las dos mencionadas. Salida y = x 3 + 2 x 2 – 16 x :

Observe cómo el patrón cruza el eje x tres veces, creando dos jorobas.

Resumen de la lección

Una función cúbica es cualquier función de la forma y = un x 3 + b x 2 + c x + d , donde un , b , c , y d son constantes, y una no es igual a cero, o un funciones polinómicas con el exponente más alto igual a 3.

Cuando se grafica, una función cúbica forma un patrón con un punto de inflexión , o punto central, desde el cual se extiende infinitamente tanto hacia arriba como hacia abajo, y el patrón cruza el eje x al menos una vez. Las funciones cúbicas son extremadamente frecuentes en aplicaciones que involucran volumen. También aparecen en química, física, ingeniería y muchas otras ciencias.