Funciones compuestas y funciones gráficas de funciones

Funciones

Recuerde que las funciones son como una caja negra; asignan números a otros números. Si y es una función de x , entonces la escribimos como y = f (x) . Y para esta función, tenemos una entrada, x , y una salida, y . Entonces x es nuestra variable independiente e y es nuestra variable dependiente. Nuestra entrada estará en cualquier lugar dentro del dominio de la función, y nuestra salida estará en cualquier lugar dentro del rango de la función. Entonces, tal vez no sea demasiado exagerado saber que puede combinar funciones en una función grande.

Resolver una función compuesta

Funciones compuestas

En matemáticas, esto se conoce como composición de funciones . Aquí comienza con x , y lo usa como entrada para una función, y = f (x) . Y lo pondrás como entrada en una segunda función, g . Entonces, si tenemos una función y = f (x) , y queremos conectarla a z = g (y) , podemos terminar con z = g (f (x)) . Esta es una función compuesta .

Cuando observa funciones compuestas, hay dos puntos principales que debe tener en cuenta. Primero, necesitas evaluar la función desde adentro hacia afuera. Necesita averiguar qué es f (x) antes de averiguar qué es g . Digamos que tenemos la función f (x) = 3 x , y tenemos otra función g (x) = 4 + x . Encontraré z cuando x = 2. Vamos a encontrar f (x) cuando x = 2 para f (2) = 3 * 2, que es 6. Decir g ( f (2)) es como decir g (6). Hacemos lo mismo y decimos g(6) = 4 + 6. Bueno, eso es 10, entonces z es solo 10.

La segunda cosa a tener en cuenta es que g (f (x)) no es igual a f (g (x)) . Hay algunos casos en los que puede, pero en general no es así. Entonces, si usamos f (x) = 3 x y g (x) = x + 4, entonces veamos el caso donde x = 0. Luego g ( f (0)), donde f (0) es 0 * 3, bueno, eso es solo cero, así que estoy mirando g (0). Introduzco cero para x aquí, y es solo 4. Ahora, si miro f ( g (0)), es como decir f (4), y eso me da 12. f ( g (0)) = 12 yg ( f (0)) = 4. Esos no son los mismos. Entonces, g (f (x)) no es igual a f (g (x)) .

Graficar una función compuesta

Dominio y rango de funciones compuestas

¿Qué sucede con el dominio y el rango de una función compuesta? Bueno, si tenemos la función g (x) , tenemos algún dominio y algún rango para g (x) . Por separado, tenemos un dominio para f (x) y un rango para g (x) . Si escribo f (g (x)) , entonces la salida de g (x) , que es el rango, tiene que estar en algún lugar del dominio de f (x) . De lo contrario, podríamos obtener un número aquí con el que f (x) realmente no sabe qué hacer. ¿Qué significa todo esto realmente? Considere la función f (x) = sin ( x ).

El dominio de sin ( x ) va a ser todo x , y el rango va a estar entre -1 y 1. Ahora veamos la función g (x) es igual al valor absoluto de x , o g (x) = abs ( x ). Nuevamente, el dominio es todo de x , y el rango es todo mayor que 1 o igual a 0. Si tomo esos dos, aquí está mi rango de sin ( x ), ¿qué le sucede a g (f (x)) ? Entonces g es el valor absoluto, entonces tendré abs (sin ( x )).

¿Cuál es el dominio y el rango de esa función compuesta? Si estoy graficando g (f (x)) , estoy graficando el valor absoluto de sin ( x ), por lo que la gráfica se ve así. Aquí tengo un rango que va de 0 a 1 y un dominio que cubre todo x . Bueno, esto tiene sentido. ¿Qué pasa si miro f (g (x)) , entonces la función va a ser seno del valor absoluto de x, sin (abs ( x ))?

El rango es todo lo que sea mayor o igual a cero.

Para el valor absoluto de x , puede tomar cualquier cosa como entrada, por lo que el dominio serán todos los valores de x , y el rango de abs ( x ) será cero y más, por lo que cualquier cosa que sea un número positivo . Ahora, el seno puede tomar cualquier cosa, por lo que el rango de abs ( x ) está dentro del dominio de sin ( x ), pero ¿qué sucede con la salida? ¿Cuál es el rango de esta función compuesta? Grafiquemos esto, ¿es inesperado? Ahora el rango está entre -1 y 1, que resulta ser el rango de f (x) .

Resumen de la lección

En resumen, sabemos que las funciones asignan números a otros números, como y = f (x) . El dominio y el rango nos dicen los valores posibles para la entrada y salida de una función.

Las funciones compuestas toman la salida de una función y la usan como entrada para otra función, y escribimos esto f (g (x)) . Vamos a evaluar f (g (x)) de adentro hacia afuera, así que vamos a evaluar g (x) antes de evaluar f (x) . Y también sabemos que f (g (x)) no es igual a g (f (x)) .