Funciones simétricas de raíces de una ecuación cuadrática

Funciones de las raíces de una ecuación cuadrática

Digamos que tenemos x 1 y x 2 , y son las raíces de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0, ( a <> 0). Las expresiones de la forma x 1 + x 2 , x 1 2 + x 2 2 , x 1 2 – x 2 2 , 1 / x 1 2 + 1 / x 2 2 y así sucesivamente se conocen como funciones de las raíces x1 y x 2 .

Encontrar las raíces de una cuadrática

Entonces, ¿cómo encontramos las raíces de una ecuación cuadrática? Necesitamos aplicar nuestro conocimiento para resolver cualquier ecuación cuadrática.

Funciones simétricas

Ahora, exploremos cómo determinar si las raíces de una cuadrática pueden formar una función simétrica.

Si la función que usa las raíces de la f cuadrática ( x 1 , x 2 ) no cambia al intercambiar x 1 y x 2 , entonces la función, f , es simétrica . En otras palabras, una expresión en x 1 y x 2 , que permanece igual cuando x 1 y x 2 se intercambian, se llama función simétrica en x 1 y x 2 .

Para una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0, (a <> 0) con raíces x 1 y x 2 , tenemos ambos:

• x 1 + x 2 = – b / a
• x 1 * x 2 = c / a

Estas dos propiedades se utilizan para formular funciones simétricas de las raíces de una ecuación cuadrática. Al formular esas funciones simétricas, las expresamos en términos de x 1 + x 2 y x 1 * x 2 .

Las funciones simétricas de raíces cuadráticas incluyen los siguientes siete:

• Fórmula (i): x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 – 2 x 1 x 2
• Fórmula (II): ( x 1 – x 2 ) 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 – 4 x 1 x 2
• Fórmula (III): x 1 2 – x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) ( x 1 – x 2 ) = ( x 1 + x 2 ) (( x 1 + x 2 ) 2 – 4 x 1 x 2 ) 0,5
• Fórmula (iv): x 1 3 + x 2 3 = ( x 1 + x 2 ) 3 – 3 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 )
• Fórmula (v): x 1 3 – x 2 3 = ( x 1 – x 2 ) ( x 1 2 + x 1 x 2 + x 2 2 )
• Fórmula (vi): x 1 4 + x 2 4 = ( x 1 2 + x 2 2 ) 2 – 2 x 1 2 x 2 2
• Fórmula (vii): x 1 4 – x 2 4 = ( x 1 + x 2 ) ( x 1 – x 2 ) ( x 1 2 + x 2 2 ) = ( x 1 + x 2 ) ( x 1 – x 2 ) (( x 1 2 + x 2 2 ) 2 – 2 x 1 x 2 )

Práctica

Para una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0, ( a <> 0) con raíces x 1 y x 2 , determine los valores de las siguientes expresiones en términos de a , b y c .

• 1 / x 1 + 1 / x 2

• 1 / x 1 2 + 1 / x 2 2

Resumen de la lección

Esta lección demostró las funciones simétricas de las raíces de una ecuación cuadrática. Se presentaron siete fórmulas simétricas en términos de las raíces de una ecuación cuadrática. Para una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0, ( a <> 0) con raíces x 1 y x 2 , las funciones simétricas se basan en las siguientes dos propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática:

• x 1 + x 2 = – b / a
• x 1 * x 2 = c / a

Cuando se le dé una función simétrica de las raíces de una cuadrática, transforme esa función usando las siete fórmulas simétricas en una forma que sea una combinación de sumas y productos de x 1 + x 2 y x 1 * x 2 , así como sumas y productos de potencias de x 1 y x 2 . Una vez hecho esto, entonces la función simétrica puede reformularse en términos de un , b , y c .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador