Inducción matemática: usos y pruebas

¿Qué es la inducción matemática?

En esta videolección, hablamos de inducción matemática. ¿Qué es exactamente? La inducción matemática es una forma de probar un enunciado matemático diciendo que si el primer caso es verdadero, todos los demás casos también lo son. Entonces, piense en una cadena de dominó. Si inclina el primer dominó, ¿qué pasa con todos los demás dominós? Ellos también caen. Y ahí tenemos un ejemplo de inducción matemática en la vida real. Si el primer dominó cae, todos los demás dominós también caen.

La inducción matemática tiene dos pasos. El primero es demostrar que nuestro primer caso es cierto. El segundo es probar que si cualquier otro caso es verdadero, entonces el siguiente caso también lo es. Es como un efecto de cadena. Si alguno de los casos es verdadero, el siguiente también lo es. Y si este es el caso, entonces significa que todos los casos en cualquier problema particular son verdaderos. Al igual que con nuestras fichas de dominó que caen, si cae la primera ficha de dominó, todas las fichas de dominó caerán porque si una ficha de dominó cae, significa que la siguiente ficha de dominó también caerá.

Cómo usarlo

Entonces, ¿cómo usamos la inducción matemática? Lo usamos para probar cinco enunciados matemáticos, como 1 + 2 + 3 + 4 +. . . + n = ( n ) ( n + 1) / 2 es cierto para todos los n . Hay dos pasos para usar la inducción matemática.

1. Muestre que el primer caso, generalmente n = 1, es verdadero.
2. Suponga que el caso n = k es verdadero, por lo tanto, el caso n = k + 1 también es cierto.

Demostrar una declaración

Entonces, veamos cómo usamos la inducción matemática. ¿Por qué no seguimos adelante y tratamos de probar el enunciado 1 + 2 + 3 + 4 +? . . + n = ( n ) ( n + 1) / 2?

1. Comenzamos mostrando que el caso n = 1 es verdadero. Cuando n = 1, nuestra declaración se convierte en 1 = (1) (1 + 1) / 2. Al evaluar esto, obtenemos 1 = (1) (2) / 2, que es igual a 1 = 2 / 2. Esto luego se convierte en 1 = 1. ¿Es esa una declaración verdadera? Sí, lo es, y hemos probado nuestro primer caso.
2. El segundo paso es un poco complicado. Suponemos que el caso n = k es verdadero. Entonces, tenemos la declaración 1 + 2 + 3 + 4 +. . . + k = ( k ) ( k + 1) / 2 es cierto. Ahora tenemos que demostrar que si este caso es verdadero, entonces también lo es el caso n = k + 1. El caso n = k + 1 cambia la declaración a 1 + 2 + 3 + 4. . . + k + ( k + 1) = ( k + 1) (( k + 1) + 1) / 2.

Para probar que esta afirmación es verdadera, podemos usar nuestra suposición de que el caso n = k es verdadero. Observe que los términos hasta el término k + 1 forman el caso n = k , por lo que podemos reemplazar todos esos términos con lo que son iguales, que es ( k ) ( k + 1) / 2. Entonces, ahora el enunciado que necesitamos probar se convierte en ( k ) ( k + 1) / 2 + ( k + 1) = ( k +1) (( k + 1) + 1) / 2. Sumamos y multipliquemos todo por ambos lados y ver si se igualan entre sí. Si son iguales entre sí, habremos probado que nuestra afirmación es cierta.

Ejemplo de cálculo

¿Son ambos lados iguales entre sí? ¡Sí lo son! Demostramos que nuestro enunciado matemático 1 + 2 + 3 + 4 +. . . + n = ( n ) ( n + 1) / 2 es cierto. ¿Ves las fichas de dominó cayendo en su lugar?

Otro ejemplo

Veamos otro problema. Probemos el enunciado 1 + 3 + 5 +. . . + (2 norte – 1) = norte ^ 2.

1. Comenzamos mostrando que el caso n = 1 es verdadero. Tenemos 1 = 1 ^ 2, que se convierte en 1 = 1. ¿Es esto cierto? Sí, ambos lados son iguales.
2. A continuación, asumimos que el caso n = k es verdadero. Entonces, tenemos 1 + 3 + 5 +. . . + (2 k – 1) = k ^ 2 es cierto. Usaremos esto para demostrar que el caso n = k + 1 es verdadero. El caso n = k + 1 es 1 + 3 + 5 +. . . + (2 k – 1) + (2 ( k + 1) – 1) = ( k + 1) ^ 2. Podemos ver que todos los términos antes del último término de nuestra serie son iguales al caso n = k . Entonces, hacemos ese reemplazo ya que sabemos que todos esos términos son iguales a k ^ 2. Entonces, nuestra declaración se convierte en k ^ 2 + (2 ( k+ 1) – 1) = ( k + 1) ^ 2. Ahora, sumamos y multiplicamos ambos lados para ver si son iguales.

Ejemplo de cálculo

¿Son los dos lados iguales entre sí? ¡Si! Entonces, eso significa la declaración 1 + 3 + 5 +. . . + (2 n – 1) = n ^ 2 es cierto. Una vez más, ¡tenemos fichas de dominó cayendo en el trabajo!

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que la inducción matemática es una forma de probar un enunciado matemático diciendo que si el primer caso es verdadero, todos los demás casos también lo son. Piense en las fichas de dominó que caen. Si inclina la primera ficha de dominó, todas las demás fichas caerán. Los dos pasos para usar la inducción matemática son:

1. Muestre que el primer caso, generalmente n = 1, es verdadero.
2. Suponga que el caso n = k es verdadero, por lo tanto, el caso n = k + 1 también es cierto.

El segundo se hace mejor si se asume que el caso n = k es verdadero. Debido a que podemos suponer que este caso es cierto, podemos reemplazar esta parte con lo que es igual cuando intentamos demostrar que el caso n = k + 1 es verdadero.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, podrá:

• Definir inducción matemática
• Enumere los pasos para usar la inducción matemática
• Demuestre que un enunciado es verdadero usando esos pasos

Rodrigo Ricardo Editor y fundador