La suma de los primeros n términos de una secuencia geométrica

Una secuencia geométrica

En esta lección en video, hablaremos sobre secuencias geométricas y cómo encontrar el total de una secuencia geométrica hasta cierto punto. A esto lo llamamos la suma de los primeros n términos de una secuencia geométrica. Recuerda que una secuencia geométrica es una secuencia en la que cada término o número es el término o número anterior multiplicado por una determinada constante. Cada secuencia tiene su propia constante de multiplicación o razón común.

Un ejemplo de una secuencia geométrica que ocurre en la vida real podría ser cuando estás cultivando patatas. Suponga que cada papa que planta le dará 20 papas cuando termine de crecer. Y si planta cada una de esas 20 papas, obtendrá 20 papas nuevas de cada una de esas papas. Entonces terminas con 20 * 20 o 400 papas. Y si plantas estas 400 papas, terminarás con 400 * 20 papas más.

Para este ejemplo de la papa, nuestra secuencia geométrica parece 1, 20, 400, etc. Cada número es el número anterior multiplicado por una cierta constante, en nuestro caso 20. Si usted es el agricultor, es posible que desee saber cuántas papas ha cultivado a lo largo del tiempo. Desea sumar todas las papas que ha cultivado con el tiempo. Aquí es cuando usaría nuestra práctica fórmula para encontrar la suma de los primeros n términos de una secuencia geométrica.

La fórmula de la suma

Esta fórmula comienza con la notación sigma, que le indica que sumará una serie de números. Luego viene la fórmula para encontrar cada término de nuestra secuencia geométrica. Esta parte no es más que un momento r de la k-ésima potencia. Nuestra notación sigma nos dice que agreguemos estos términos, comenzando con k = 0 hasta n – 1.

Todo esto es igual a una veces 1 menos r a la n-ésima poder sobre 1 menos r . Esto nos dice que podemos usar la parte después del signo igual para encontrar la suma de nuestros primeros n términos. Ni siquiera tenemos que agregar los términos individuales. Esto es muy útil si queremos encontrar la suma de un gran número de términos.

En esta fórmula, a representa nuestro término o número inicial, r es nuestra razón común y n es el número de términos para los que queremos encontrar la suma.

Usando la fórmula de la suma

Veamos cómo podemos usar esta fórmula ahora. Digamos que somos productores de patatas. Queremos saber cuántas patatas hemos cultivado después de cosecharlas para la cuarta ronda. Entonces nuestra n es 4. Comenzamos con 1 papa, entonces nuestra a es 1. Nuestra razón común es 20 porque multiplicamos por 20 cada vez para obtener el siguiente número en nuestra secuencia. Tenemos todos los números que necesitamos para trabajar nuestra fórmula, así que sigamos adelante y usémosla ahora. Conectamos todos nuestros valores.

Ahora, podemos seguir adelante y evaluar. Primero tomamos nuestro 20 elevado a la cuarta potencia para obtener 160.000. 1 menos 160,000 es -159,999. 1 menos 20 es -19. -159,999 dividido por -19 es 8,421. 8.421 por 1 es él mismo, 8.421. Y ahí tenemos nuestra respuesta.

Otro ejemplo

¿Quieres probar uno más? Esta vez, intenta resolverlo mientras trabajamos juntos. Encontremos la suma de los primeros 6 términos de la secuencia geométrica que comienza con los números 2, 4 y 8.

Primero, necesitamos encontrar nuestra razón común. Hacemos esto dividiendo cada término por su término anterior. Cada vez que dividimos, deberíamos obtener el mismo número. Dividimos 4 entre 2 y 8 entre 4. ¿Qué obtenemos? Obtenemos 2, entonces nuestra razón común, nuestra r , es 2. Queremos encontrar los primeros 6 términos, entonces nuestra n es 6. Nuestra a es 2, ya que ese es nuestro número inicial. Ahora podemos completar nuestra fórmula con estos valores:

Ahora evaluamos.

Nuestra respuesta es 126 y hemos terminado. ¿Como hiciste?

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. Una secuencia geométrica es una secuencia en la que cada término o número es el término o número anterior multiplicado por una determinada constante. Nuestra razón común es nuestra constante de multiplicación. La fórmula para encontrar la suma de los primeros n términos de una secuencia geométrica es a multiplicado por 1 menos r elevado a la n – ésima potencia sobre 1 menos r donde n es el número de términos para los que queremos encontrar la suma, a nuestro término inicial de nuestro secuencia, y r nuestra razón común. Para usarlo, buscamos nuestros valores, los conectamos y evaluamos.

Resultado de aprendizaje

Después de revisar esta lección, debería poder calcular la suma de una secuencia geométrica hasta un punto designado.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador