Límites unilaterales y continuidad

Caminos continuos y discontinuos

Tras el terremoto, el camino se vuelve discontinuo

Considere por un minuto una acera que cruza el río y atraviesa el bosque y quizás sobre algunas colinas. Si miro la elevación de la acera en función de la ubicación, entonces su función podría verse así. Ahora bien, este es un camino continuo; Puedo trazar este camino sin levantar el dedo, entonces, ¿qué pasa con los límites a lo largo de este camino continuo? Bueno, si miro la elevación cuando me acerco a la línea de árboles, podría encontrar que la elevación es de 100 pies. Digamos que hubo un terremoto gigantesco! Y el terremoto partió el suelo en la línea de árboles. Ahora, si me acerco a la línea de árboles desde el río, entonces el límite podría ser de 100 pies. Pero si me acerco a la línea de árboles desde el bosque, entonces el límite podría ser de 120 pies. Si quiero trazar este camino, ahora es discontinuo; Tengo que levantar el dedo del papel para seguir trazándolo debido a esta discontinuidad en la línea de árboles.

Límites unilaterales

¿Qué podemos aprender de nuestra línea de árboles? Primero, los límites pueden ser diferentes cuando te acercas a un punto desde el lado izquierdo o derecho. Estos se denominan límites unilaterales . Un ejemplo matemático de esto podría ser la función f (x) donde es igual a x para x <1 y es igual a x + 1 para x es mayor o igual a 1. Esto es muy parecido a nuestro ejemplo de terremoto. Para valores menores que 1, f (x) = x . En 1, esta línea salta porque f (x) = x+ 1. En este punto aquí, tenemos un límite que se aproxima a 1 en el lado izquierdo que es diferente del límite que se acerca a 1 desde el lado derecho. Así que veamos el límite desde el lado izquierdo. Vamos a diferenciar este límite del límite que se acerca a 1 desde el lado derecho poniendo un signo menos junto al número al que nos estamos acercando. El límite cuando x se acerca a 1 desde el lado izquierdo es 1, y el límite cuando x se acerca a 1 desde el lado derecho, que está designado por un signo más, es 2.

Ejemplo de límite unilateral

Continuidad

Lo segundo que podemos haber aprendido de nuestro ejemplo de terremoto es un poco menos obvio. Antes del terremoto, el camino era continuo , y antes del terremoto, el límite cuando x se acercaba a algún número, llamémoslo C , era independiente de qué lado tomaba el límite. Entonces, podría acercarse a la línea de árboles desde el lado izquierdo y llegar a 100 pies, y podría acercarse a la línea de árboles desde el lado derecho para llegar a 100 pies. Esto fue así en todo el camino. Después del terremoto, tuvimos un discontinuocamino. En particular, el límite de la elevación cuando nos acercábamos a la línea de árboles no estaba definido. En cambio, tuvimos que acercarnos a la línea de árboles desde el lado del río o desde el lado del árbol, y esos dos límites eran diferentes en unos 20 pies.

Resumen de la lección

De esto, aprendimos algo muy importante sobre la continuidad. Aprendimos que una función, como y = f (x) es continua en una región si el límite de esa función cuando te acercas a cualquier número es igual al valor de la función en ese número. Lo que esto realmente significa es que si te estás acercando a cualquier punto de tu camino, puedes acercarte desde cualquier dirección y llegar a ese punto. Tampoco hay una discontinuidad en ese punto. Nuestro camino era continuo antes del terremoto y los límites se comportaban bien en todas partes. No ibas a caer de repente de la faz de la Tierra mientras caminabas por el sendero.

Después del terremoto, nuestro camino fue discontinuo y los límites no se comportaron bien en todas partes. Por ejemplo, si caminaba desde los árboles hasta el río, de repente se iba a caer del camino en la línea de árboles porque su camino tenía una discontinuidad.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador