¿Qué es un lugar geométrico de puntos?
Nos vamos de excursión. Decidimos que queremos caminar 5 millas desde nuestro punto de partida y 5 millas de regreso a nuestro punto de partida, y estamos tratando de decidir en qué parte del área de caminata nos gustaría que estuviera el punto de cambio. Miramos un mapa del área y trazamos todos los puntos que están a 5 millas de nuestro punto de partida.
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Observa que una de las rutas termina en un mirador panorámico. Esta ruta será una hermosa caminata. Vámonos.
Puede que te sorprenda que el círculo que creaste en el mapa en realidad tenga algún significado matemático, y no es solo porque es un círculo. Como dijimos, este círculo es un conjunto de puntos que están a 5 millas de nuestro punto de partida. En matemáticas, llamamos a esto un lugar geométrico de puntos.
Un lugar geométrico de puntos es un conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad o condición. El círculo en el mapa es el conjunto de puntos que satisfacen la propiedad de que están a 5 millas de nuestro punto de partida, por lo que forman un lugar geométrico de puntos. Probablemente no se dio cuenta de que estaba creando un conjunto matemático de puntos cuando trazamos nuestra ruta.
Lugar geométrico de puntos y ecuaciones
Un lugar geométrico de puntos suele dar como resultado una curva o una superficie. Por ejemplo, en nuestro ejemplo de caminata, el lugar de los puntos a 5 millas de nuestro punto de partida resultó en una curva que es un círculo. Ahora bien, ¿cómo solemos representar las curvas algebraicamente? Si estás pensando que usamos una ecuación, tienes toda la razón.
Resulta que las soluciones de una ecuación son un ejemplo de un lugar geométrico de puntos, porque esas soluciones son un conjunto de puntos que satisfacen la propiedad de que hacen que la ecuación sea verdadera. Por ejemplo, si dejamos que nuestro punto de partida sea el origen en un sistema de coordenadas, entonces el conjunto de todos los puntos que están a 5 millas de ese punto forman el círculo que está representado por la ecuación x 2 + y 2 = 25.
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Por lo tanto, nuestro lugar geométrico de puntos puede describirse como el conjunto de puntos que están a 5 millas de nuestro punto de partida, o como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación x 2 + y 2 = 25, si dejamos que nuestro punto de partida sea el punto (0,0).
Más ejemplos de lugar geométrico de puntos
Debido a que un lugar geométrico de puntos es simplemente un conjunto de puntos que satisfacen algunas condiciones o propiedades, existen muchos ejemplos diferentes de este concepto matemático. Echemos un vistazo a algunos ejemplos más de estos para que realmente podamos solidificar nuestra comprensión del concepto.
Puede que esté familiarizado con una elipse. Una elipse es una forma bidimensional que parece un círculo que se ha estirado un poco horizontal o verticalmente. Sin embargo, lo que quizás no sepa es que podemos definir una elipse formalmente como un conjunto de puntos, de modo que la suma de las distancias desde dos puntos, llamados focos, sea la misma para cada punto del conjunto.
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Acabamos de definir una elipse como un conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad, entonces, ¿esto te suena a algo? ¡Ah! Sí, una elipse es un lugar geométrico de puntos que satisface la propiedad de que la suma de las distancias desde el punto a cada uno de los focos de la elipse es constante. Bastante ordenado, ¿eh?
Bien, consideremos otro ejemplo. Supongamos que durante nuestra caminata, viajamos de tal manera que cubrimos 3 millas cada hora. Ahora, considere el lugar geométrico de los puntos, ( x , y ), donde x es la cantidad de horas que hemos estado viajando e y es la distancia total que hemos recorrido. Debido a que nuestra distancia aumenta 3 millas por cada hora recorrida, algunos puntos que estarían en este lugar serían:
(0,0)
(1,3)
(2,6)
¿Alguna idea sobre cómo representar este lugar geométrico de puntos usando una ecuación?
Mmmm, si y es la distancia recorrida, x es la cantidad de horas que hemos estado caminando y estamos cubriendo 3 millas por hora, entonces tiene sentido que podamos modelar nuestra distancia total recorrida usando la ecuación y = 3 x . Dado que nuestro lugar geométrico de puntos satisface exactamente esta propiedad, esta es nuestra ecuación que representa el lugar geométrico de los puntos.
También podríamos encontrar esta ecuación buscando un patrón en los puntos (0,0), (1,3) y (2,6) que dijimos que estaban en este locus. Observe que cada coordenada y en estos puntos es 3 veces la coordenada x en los puntos. Esto nos dice que y = 3 x , y vemos una vez más, tenemos la ecuación que podemos usar para representar nuestro lugar geométrico de puntos.
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Esto nos dice que estamos caminando a un ritmo constante, y cualquier punto de este lugar nos dice qué tan lejos hemos viajado en función del tiempo que hemos estado caminando. Vaya, ¿quién hubiera pensado que un lugar geométrico de puntos podría decirnos tanto?
Resumen de la lección
Repasemos brevemente lo que hemos aprendido. En matemáticas, un lugar geométrico de puntos es un conjunto de puntos que satisfacen alguna condición o propiedad dada. Algunos ejemplos de loci de puntos son el conjunto de todos los puntos a la misma distancia de un punto; el conjunto de todos los puntos que satisfacen una ecuación dada; o el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de dos puntos dados.
Debido a la definición de un lugar geométrico de puntos, hay muchas formas diferentes en que este concepto matemático puede aparecer en el mundo que nos rodea. Ahora que estamos familiarizados con el concepto, podemos observar las cosas en nuestra vida diaria de una manera diferente a como lo hacíamos antes, y eso es solo parte de la belleza de las matemáticas.
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