Decaimiento Exponencial: Modelo y ejemplos

¿Qué es el decaimiento exponencial?

El decaimiento exponencial ocurre cuando la cantidad de algo disminuye a un ritmo proporcional a la cantidad restante. Esta tasa se llama razón constante. Esto es diferente a la descomposición lineal, donde la cantidad de algo disminuye en la misma cantidad por cada unidad de tiempo.

Hay otro tipo de función exponencial llamada crecimiento exponencial. Hay algunas maneras de identificar las diferencias. Primero, los gráficos parecen diferentes. La gráfica de una función de crecimiento exponencial suele ser creciente. El gráfico de decaimiento generalmente será una función exponencial decreciente.

Otra forma de determinar si una función exponencial representa crecimiento o decrecimiento es examinar la base del exponente variable en la ecuación. Si la base es mayor que 1, es un crecimiento exponencial. Si la base está entre cero y 1, será un decaimiento exponencial. Observa que la base de una función exponencial siempre es positiva.

La gráfica de una función de decaimiento exponencial comenzará empinada y luego se aplanará a medida que se acerque a una línea horizontal. Esa línea horizontal se llama asíntota . Una función exponencial nunca cruzará su asíntota, lo que significa que tiene un rango limitado.

El decaimiento exponencial ocurre naturalmente de muchas maneras. Los materiales radiactivos se descomponen exponencialmente con el tiempo. Otros ejemplos incluyen la disminución del tamaño de la población o la depreciación del valor monetario de objetos como los automóviles.

Modelo de decaimiento exponencial

Hay tres modelos comúnmente usados ​​para representar el decaimiento exponencial.

El primero es {eq}A = A_0 (1 – r) ^ t {/eq}.

En este modelo, {eq}A_0 {/eq} representa la cantidad inicial de lo que se está midiendo, r representa la tasa y representa la relación constante de descomposición, y t representa el tiempo y representa la cantidad de tiempo que pasa. La función A dará la cantidad restante después de t unidades de tiempo.

El segundo modelo utiliza e , que también se conoce como la constante de Euler y es un número irracional que es aproximadamente igual a 2,718. El modelo de decaimiento exponencial es el siguiente: {eq}A = A_0 e ^{kt} {/eq}, o a veces {eq}A = A_0 e ^{rt} {/eq}.

Ya sea que se use k o r , es una constante que representa la tasa de decaimiento. En funciones de decaimiento exponencial, este valor siempre es negativo. {eq}A_0 {/eq} nuevamente representa la cantidad inicial y t representa el tiempo. Recuerde que e no es una variable. En su lugar, representa una constante. Una vez más, la función A dará la cantidad restante después de t unidades de tiempo.

A veces, una función exponencial se escribirá en esta tercera forma: {eq}y = a \cdot B^{(x – h)} + k {/eq}, donde a , h y k son constantes que se relacionan con el gráfico de la función. Estos identifican las transformaciones realizadas en la función principal {eq}y = B^x {/eq} y generalmente se usan para graficar.

Primero, a representa un estiramiento o compresión vertical del gráfico. Si | un | > 1, entonces ocurre un estiramiento vertical. Si 0 < | un | < 1, se produce una compresión vertical. Por ejemplo, para decidir cuál es una extensión de una función de decrecimiento exponencial, identifica la a en la ecuación o el múltiplo constante. Si el valor absoluto de este número es mayor que 1, la función se estirará.

A continuación, h representa un desplazamiento horizontal de la gráfica. Si h es negativa, la ecuación tendrá algo como x + h en el exponente, porque restar un negativo es lo mismo que sumar. En este caso, el desplazamiento horizontal será h unidades a la izquierda. Si h es positiva, la ecuación tendrá una x – h en el exponente y el desplazamiento es h unidades a la derecha. Este hecho es importante, porque es un error común. Si hay un «+» en el exponente, el desplazamiento horizontal va hacia la izquierda. Si hay un «-» en el exponente, el desplazamiento va hacia la derecha.

Finalmente, k representa un desplazamiento vertical. Si k es positivo, la gráfica de la función se desplaza k unidades hacia arriba. Si k es negativo, la gráfica de la función se desplaza k unidades hacia abajo.

Ejemplo de decaimiento exponencial

El decaimiento exponencial ocurre en muchos escenarios del mundo real, como los que se enumeran a continuación:

• Desintegración de material radiactivo
• Metabolismo de un fármaco en el cuerpo de un paciente
• Pérdida de fertilidad en el suelo.
• Disminución de la población en una comunidad.
• Tamaño de una herida a medida que cicatriza
• Temperatura de un objeto caliente colocado en una habitación fría
• Objeto que pierde valor monetario, como un automóvil

Todos estos escenarios se pueden representar utilizando un modelo exponencial para cualquier condición dada, siempre que se pueda determinar la relación constante. En la siguiente sección se muestran ejemplos de funciones de decaimiento exponencial.

Problemas de ejemplo de decaimiento exponencial

1. Cierto isótopo radiactivo se desintegra a una velocidad modelada por {eq}A = A_0 e^{-0.001t} {/eq}. Si hay 100 gramos de material radiactivo, para empezar, ¿cuánto quedará después de 250 años?

Con base en la información dada, se conocen las siguientes variables:

{eq}A_0 = 100 {/eq}

{eq}t = 250 {/eq}

Sustituye estos valores dados en la fórmula de decaimiento exponencial:

{eq}A = 100 e^{-0,001 \cdot 250} {/eq}

Simplificar:

{eq}A = 100 e^-0,25 {/eq}

{eq}A \aprox. 77,88 {/eq}

2. Suponga que un paciente toma una dosis de 10 mg de un medicamento recetado. La cantidad de fármaco en el torrente sanguíneo disminuye un 25 % cada seis horas. ¿Cuánto tiempo pasará para que la cantidad de fármaco en la sangre del paciente esté por debajo de 5 mg?

En este ejemplo, t es la variable que debe resolverse porque la pregunta es «¿cuánto tiempo tomará?»

El problema da la siguiente información:

{eq}A_0 = 10 {/eq}

{eq}A = 5 {/eq}

{eq}r = 0,2 {/eq}

Tenga en cuenta que r debe convertirse de 20% a 0,2.

Como la tasa está dada, usa el primer modelo para una función exponencial: {eq}A = A_0 (1 – r)^t {/eq}.

Sustituye en la información dada:

{eq}5 = 10 (1 – 0,2)^t {/eq}

Simplificar:

{eq}5 = 10 (0,8)^t {/eq}

Divide ambos lados por 10:

{eq}0,5 = 0,8 ^ t {/eq}

Toma {eq}\log_{0.8} {/eq} de ambos lados:

{eq}\log_{0.8}{0.5} = \log_{0.8}{0.8^t} {/eq}

Simplificar:

{eq}3.106 \approx t {/eq}

Entonces, tomará alrededor de 3.106 unidades de tiempo. Recuerda que las unidades de tiempo en el problema son intervalos de tiempo de seis horas. Entonces, multiplica 3.106 por 6 para encontrar el número de horas: 18.638. Tomará alrededor de 18.638 horas para que solo queden 5 mg en el torrente sanguíneo del paciente.

Resumen de la lección

La definición de decaimiento exponencial es una disminución a un ritmo proporcional a la cantidad restante. Al principio, la gráfica de una función de decaimiento exponencial parecerá empinada y luego se aplanará en una línea llamada asíntota . Hay muchos ejemplos de decaimiento exponencial en el mundo real. Algunos ejemplos incluyen la disminución exponencial del tamaño de una población, la cantidad de un fármaco que queda en el torrente sanguíneo de un paciente y la descomposición de ciertos isótopos radiactivos.

Hay dos modelos comunes utilizados para el decaimiento exponencial. El primero es {eq}A = A_0 (1 – r) ^t {/eq}, donde A representa la cantidad después de t unidades de tiempo, {eq}A_0 {/eq} representa la cantidad inicial y r representa la constante relación o tasa de disminución. El segundo modelo es {eq}A = A_0 e ^{kt} {/eq}, donde A representa la cantidad restante después de t unidades de tiempo, {eq}A_0 {/eq} representa la cantidad inicial, e es la constante de Euler {eq}\approx {/eq} 2.718, y k es una constante negativa que representa la tasa de decaimiento.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador