Movimiento Armónico Simple SHM: Significado, Ecuación y Ejemplos

¿Qué es el movimiento armónico simple?

Imagínese el péndulo oscilante de un reloj de pie. El péndulo presenta un movimiento armónico simple. Ahora piensa en un resorte. Imagínese comprimiéndolo y luego verlo rebotar después de soltarlo. Este también es un ejemplo de movimiento armónico simple o MAS. ¿Qué es el MAS? La definición de movimiento armónico simple es que MAS es un movimiento oscilatorio alrededor de un punto de equilibrio. Una oscilación es un movimiento de ida y vuelta, y el equilibrio es un estado en el que puede existir un sistema. En equilibrio, las fuerzas sobre el sistema están perfectamente equilibradas y el sistema está en reposo. Un péndulo oscilante exhibe MAS porque oscila hacia adelante y hacia atrás alrededor de un punto de reposo, y este punto ocurre cuando el péndulo está en su punto más bajo de su oscilación y más cercano a la tierra. Un resorte presenta MAS porque, después de liberarse de la compresión, rebotará hacia adelante y hacia atrás alrededor de su posición de reposo.

El significado de MAS se representa gráficamente como una onda y, matemáticamente, las ondas se representan mediante combinaciones de funciones seno y coseno. Dado que el movimiento armónico simple se representa con una onda, es posible describir el MAS utilizando la anatomía de una onda. La frecuencia de una onda generalmente se mide en segundos y es una medida de cuántos ciclos completos de la onda ocurren en un segundo. La longitud de onda, o período, de una onda es una medida de cuánto tiempo lleva completar un ciclo de onda, y la amplitud de una onda es una medida de la distancia máxima que recorre la onda desde el equilibrio.

Características del oscilador armónico simple

Hay muchos tipos de oscilaciones, entonces, ¿qué es un oscilador armónico simple? Para identificar si un movimiento es o no un movimiento armónico simple, siga la lista a continuación. Si se puede responder afirmativamente a cada pregunta, la moción es SHM:

• ¿El objeto oscila?
• ¿La oscilación se mueve hacia adelante y hacia atrás alrededor de la posición de reposo del objeto?
• ¿El movimiento parece sinusoidal?
• ¿El movimiento es periódico?
• ¿El movimiento hacia adelante del objeto parece proporcional a su desplazamiento vertical?

Ecuación de amplitud del movimiento armónico simple

La Figura 2 ilustra el desplazamiento máximo de una onda sinusoide. Esta es la amplitud de la onda y se puede describir reordenando la ecuación de la posición de una onda. La posición de una onda que exhibe movimiento armónico simple se puede describir usando la ecuación SHM, {eq}x = Asin(\omega t) {/eq} donde x es la posición de la onda, A es la amplitud de la onda, { eq}\omega {/eq} es la velocidad angular de la onda, también llamada frecuencia angular, y t es el tiempo que viaja la onda. Esta ecuación se puede reorganizar y resolver para la amplitud de SHM, y la ecuación simple de amplitud del movimiento armónico es:

{eq}A = \frac{x}{sin(\omega t)} {/eq}.

Ejemplo 1: Fórmula para la amplitud en SHM

Un niño pequeño prueba un nuevo truco con yoyo. Su yoyo rebota durante 3 s con una velocidad de 16,58 rad/s. Usa la fórmula de amplitud en MAS para encontrar la amplitud de la oscilación en la mitad de la cuerda del yoyo.

1) Definir cada variable.

{eq}- {/eq} La posición a analizar es a mitad de la cuerda del yoyo. Si la cuerda tiene una longitud desenrollada de L, entonces, {eq}x = \frac{L}{2} {/eq} es la longitud de la cuerda en un momento dado. Esta cantidad se mide en metros, m.

{eq}- {/eq} La cuerda oscila durante 3 s, por lo que t = 3 s.

{eq}- {/eq} La velocidad angular se da como 16,58 rad/s, pero se acostumbra expresar la frecuencia en Hertz, Hz, en lugar de rad/s. Usando la conversión adecuada, {eq}1 {/eq} Hz {eq}= 2 \pi {/eq} rad/s, {eq}\omega = \frac{16.58}{2 \pi} = 2.64 {/eq} Hz.

2) Introduzca cada valor de 1) en la fórmula de amplitud SHM.

{eq}A = \frac{x}{sin(\omega t)} \rightarrow A = \frac{\frac{L}{2}}{sin(2.64* 3)} {/eq}

3) Evaluar 2).

{eq}A = \frac{\frac{L}{2}}{sin(2,64* 3)} \rightarrow A = \frac{L}{2sin(7,92)} {/eq}

{eq}A = \frac{L}{2sin(7,92)} = 0,5L {/eq} m

El resultado final, una amplitud de 0,5 L·m, muestra una relación definida entre el desplazamiento vertical y horizontal de la cuerda, el requisito final enumerado anteriormente para MAS. ¡Este niño debe estar teniendo dificultades con su truco del yoyo si la amplitud de la oscilación de la cuerda es la mitad de la longitud de la cuerda!

Ecuación del período de oscilación

El período de oscilación en el movimiento armónico simple es proporcional a la frecuencia angular del movimiento e inversamente proporcional a la frecuencia lineal del movimiento. Usando frecuencia angular, el período de oscilación, T, es {eq}T = \frac{2\pi}{\omega} {/eq}. La frecuencia lineal, {eq}f {/eq}, se puede obtener dividiendo la frecuencia angular por {eq}2 \pi {/eq}, por lo que el período de la ecuación de oscilación también se puede escribir como {eq}T = \frac{ 1}{f} {/eq}. Estas son las formas generales de la ecuación del período de oscilación de una onda. Si se analiza un resorte, puede resultar útil expresar la velocidad angular del resorte usando la constante del resorte, k, y su masa, m, de modo que la velocidad angular del resorte pueda expresarse como {eq}\omega_{spring} = \sqrt(\frac{k}{m}) {/eq}. Sustituyendo {eq}\omega_{spring} {/eq} en la ecuación del período de oscilación y simplificando, es posible representar el período de oscilación de un resorte como {eq}T_{spring} = 2 \pi \sqrt(\ frac{m}{k}) {/eq}.

Ejemplo 2: cálculo del período utilizando la ecuación SHM

Dos estudiantes de física están tratando de calcular qué tan rápido se mueve un resorte para poder usarlo en su proyecto de automóvil solar. Los estudiantes pesan el resorte y encuentran que tiene una masa de 0.02 kg. El resorte es rígido, por lo que estiman que su constante elástica es de alrededor de 25 N/m, donde N representa Newtons. ¿Qué tan rápido oscila su resorte?

1) Definir las variables. Se utilizará la ecuación del período de oscilación de un resorte.

{eq}- {/eq} m = 0,02 kg

{eq}- {/eq} k = 25N/m

2) Reemplaza los valores de 1) en {eq}T_{spring} = 2 \pi \sqrt(\frac{m}{k}) {/eq}.

{eq}T_{primavera} = 2 \pi \sqrt(\frac{m}{k}) \rightarrow T_{primavera} = 2 \pi \sqrt(\frac{0.02}{25}) {/eq} {eq}\sqrt(kgN^{-1}m) {/eq}

3) Evaluar 2).

{eq}T_{primavera} = 2 \pi \sqrt(\frac{0.02}{25}) \rightarrow T_{primavera} = 2 \pi \sqrt(.0008) = 0.178 {/eq} s

El período de esta primavera es de 0,178 segundos.

Resumen de la lección

Un péndulo oscilante y un resorte exhiben un movimiento armónico simple, o MAS. ¿Qué es el MAS? El movimiento armónico simple se caracteriza por una oscilación alrededor de un punto de equilibrio. El significado de SHM se representa gráficamente mediante una onda sinusoidal o coseno, y es posible describir SHM utilizando atributos de onda tradicionales como frecuencia, amplitud y longitud de onda.

La posición de una onda se puede determinar usando la ecuación SHM, {eq}x = Asin(\omega t) {/eq} donde x es la posición, A es la amplitud de la onda, {eq}\omega {/eq} es la frecuencia angular, también llamada velocidad angular, y t es el tiempo. Esta expresión se puede resolver para la amplitud de la onda, que es el desplazamiento máximo del equilibrio. La longitud de onda, o período, es el tiempo que le toma a la onda completar un ciclo de selección y se puede encontrar dividiendo la velocidad angular por {eq}2 \pi {/eq}.