Orden de magnitud: análisis y problemas

¿Qué es el orden de magnitud?

Si vives en América del Norte y miras hacia el cielo a finales del otoño, es posible que veas gansos migrando hacia el sur durante el invierno. Su patrón de vuelo icónico en ‘V’ es muy distintivo. En una vista del cielo, ¿cuántos pájaros vemos? ¿Podríamos usar esta información para estimar el tamaño de la población de gansos en América del Norte?

Migración de gansos en el cielo.

En esta lección, veremos cómo determinar el orden de magnitud y usarlo para estimar cantidades relacionadas. El orden de magnitud es el exponente de una potencia de 10. Por ejemplo, el número 100 se puede escribir como 10 elevado a 2. El orden de magnitud del número 100 es 2. La forma corta de escribir esto usa mayúscula O con el número de pedido entre paréntesis: el número 100 es O (2). En voz alta diríamos: ‘el número 100 es orden 2.’ Esta O a veces se llama la notación O grande y no es cero sino la letra O mayúscula .

Empecemos

Usar el orden de magnitud para tomar el lugar de un número aproxima el número. Por ejemplo, 100 es O (2) pero también lo es 45 y también lo es 449. ¡Esa es una gran variedad de números! De manera informal, puedes mirar a un grupo y decir: ‘definitivamente hay más de 1 de esos’. Como los gansos que ves en el cielo, el orden de magnitud es mayor que O (0). Por cierto, O (0) significa 10 ^ 0 que es igual a 1. Por otro lado, cuando miramos un patrón en ‘V’ de gansos, ¡no vemos 100 gansos! No es O (2). Probablemente O (1). Este enfoque significa usar su sentido común y sus observaciones para poner entre paréntesis su número. Horquilladoes poder decir que el orden es mayor que algo pero menor que otra cosa. La próxima vez que esté en un grupo, solo por diversión, vea si puede poner entre paréntesis su orden de magnitud estimada para el número de personas presentes. Como muchas otras cosas, la estimación del orden de magnitud mejora con la práctica. Pero, ¿hay alguna forma más formal de obtener este número? Estoy seguro de que a esos gansos migratorios les gustaría saberlo.

Se trata de notación científica. En notación científica , escribimos un número como dígito del punto decimal del dígito… X 10 ^ potencia. Por ejemplo, 110 es 1,10×10 ^ 2. El número 45 es 4.5×10 ^ 1. El siguiente paso para encontrar el orden de magnitud es redondear para que no haya un punto decimal. En nuestros ejemplos, 1,10 se redondea a 1 y 4,5 se redondea a 5. Vamos a eliminar el número redondeado por completo, pero antes de hacerlo, compruebe si el número es 5 o más. Si el número es 5 o mayor, está más cerca del siguiente orden de magnitud superior, así que suma 1 al exponente. El significado de 45 es 4.5×10 ^ 1 que se redondea a 5×10 ^ 1, que está más cerca de 10 ^ 2 que de 10 ^ 1. El significado de 45 es O(2). ¿Y 110? Bueno, 110 es 1,10×10 ^ 2 que se redondea a 1×10 ^ 2. El 1 se elimina y no hay cambio en el exponente porque el 1 es menor que 5. El número 110 es O (2). ¿Hasta aquí todo bien? Mi estimación del número de gansos que vuelan por encima de mi cabeza en una ‘V’ es O (1).

Calcular con órdenes de magnitud

A continuación, se explica cómo utilizar estimaciones de orden de magnitud para calcular información relacionada. Todo está basado en operaciones con exponentes. Cuando multiplicamos números de exponentes con la misma base, sumamos los exponentes. Por ejemplo, 10 ^ 2 x 10 ^ 1 = 10 ^ (2 + 1) = 10 ^ 3. Volvamos a nuestros amigos migratorios.

¿Cuántas bandadas atraviesan el cielo en un intervalo de 10 minutos? Estimación: O (1). Recuerde, ese sería un número como 10. ¿Cuántos intervalos en un día? O (2). ¿Cuántos días en la temporada migratoria? O (2). ¡Excelente!

¿Cuál es el tamaño de la población de gansos canadienses? Es la multiplicación de cuatro números: el número de gansos en una bandada ‘V’ O (1), el número de bandadas que vemos durante un intervalo de 10 minutos O (1), el número de intervalos de 10 minutos en un día durante qué aves están volando O (2), y el número de días en la temporada migratoria O (2). Ninguno de estos números se conoce con precisión y sería imposible contar todas las aves individuales. Al multiplicar esos cuatro números, estamos sumando sus respectivos órdenes de magnitud: O (1) O (1) O (2) O (2) = O (1 + 1 + 2 + 2) = O(6). Ahora, el orden de magnitud 6 es 10 ^ 6 que es 1 millón. El número de población publicado de gansos en América del Norte es un número entre 1 y 2 millones. ¡Estamos muy cerca de estas estimaciones de orden de magnitud! Los gansos estarían orgullosos.

Otras aplicaciones

Además de las estimaciones y los cálculos de las cantidades diarias, podemos usar el enfoque del orden de magnitud para obtener una estimación de un resultado como una verificación de la validez de la respuesta de la computadora o calculadora. Hagamos un ejemplo.

¿Y si quisiera calcular 275 (30 + 1) / 2695? Como expresión de orden de magnitud, esto es

Con las multiplicaciones, sumamos el orden de magnitudes. Con la división, restamos el orden de magnitud del denominador del orden de magnitud del numerador. Esto se relaciona con multiplicar y dividir exponentes que tienen la misma base. ¿Qué hay de sumar (o restar) números con diferentes órdenes de magnitud? El orden de magnitud más grande gana. En nuestro ejemplo, 30 es O (1) mientras que 1 es O (0). La suma, 31 sigue siendo O (1). Mantenemos el orden de magnitud más alto porque dominará al más pequeño.

Nuestro cálculo se reduce a O (2) [ O (1) + O (0)] / O (3) = O (2) O (1) / O (3) = O (2 + 1-3) = O ( 0). Este es un número entre .5 y 4.4. (¿Recuerda antes cuando dijimos que 45 redondearía a 100? Por la misma lógica, si sabemos que 10 ^ 0 es igual a 1, entonces sabemos que O (0) estaría entre .5 y 4.4 porque .5 redondearía a 1 y 4.4 se redondearía a 1.)

La respuesta de calculadora más precisa para este cálculo es 3.2. Esto concuerda muy bien con nuestro cálculo del orden de magnitud. Y ese es el caso con frecuencia.

Me pregunto si esos gansos califican para millas de viajero frecuente.

Resumen de la lección

La potencia de 10 en un exponente es el orden de magnitud . El orden de magnitud puede estimarse utilizando el sentido común y la observación, así como expresando un número en su formato de notación científica . Cuando existe una relación entre cantidades, los cálculos del orden de magnitud a menudo dan resultados útiles. Los cálculos basados ​​en estimaciones de orden de magnitud proporcionan una forma de verificar los resultados numéricos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador