Probabilidad de eventos independientes y dependientes

Eventos independientes y dependientes

Los eventos independientes son eventos que no afectan el resultado de eventos posteriores. En un evento independiente, cada situación está separada de los eventos anteriores. Un ejemplo de un evento independiente sería seleccionar una carta de una baraja de cartas y luego devolver la carta a la baraja. Después de devolver la carta, seleccione otra carta del mismo mazo igual.

Los eventos dependientes son todo lo contrario. Los eventos dependientes son eventos en los que los intentos anteriores afectan el resultado de eventos posteriores. Los eventos dependientes son como suenan: cada evento depende de lo que sucedió en el intento anterior. Un ejemplo de un evento dependiente sería seleccionar una carta de una baraja de cartas y no reemplazar la carta. Luego roba otra carta de la baraja de cartas ahora más pequeña.

Probabilidad

La probabilidad de que ocurra un evento es una razón que establece la probabilidad de que ocurra un evento. Para encontrar la probabilidad de un solo evento, usará la razón del número de resultados favorables sobre el número de resultados totales.

Veamos un ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un rey de una baraja de cartas estándar?

Mirando la baraja de cartas, sabemos que hay 52 cartas en cada baraja. El número de resultados totales es 52 porque podríamos seleccionar cualquiera de las 52 cartas al elegir al azar. También podemos ver que hay 4 reyes en cada baraja de cartas. Entonces, el número de resultados favorables sería 4.

Podemos ver que hay una proporción de 4 a 52 posibilidades de seleccionar un rey al azar de una baraja de cartas. Sin embargo, todas las proporciones deben estar en la forma más simple, por lo que 4/52 se reducirá a 1/13. La probabilidad de seleccionar un rey al azar de una baraja de cartas estándar es 1/13.

A veces se le pedirá que encuentre la probabilidad de que ocurra más de un evento en orden consecutivo. Cuando esto ocurre, deberá multiplicar ambas probabilidades para calcular la probabilidad combinada. Veamos un ejemplo en el que se le pedirá que encuentre la probabilidad de que ocurra más de un evento: ¿Cuál es la probabilidad de lanzar un dado estándar y obtener un 2 y luego lanzar de nuevo y obtener otro 2?

Para iniciar este problema, deberá calcular la probabilidad de que cada evento ocurra de forma independiente. La probabilidad de sacar un 2 en un dado estándar se puede encontrar usando la fórmula: número total de resultados favorables sobre el número total de resultados posibles. En un dado, hay 6 resultados en total, y solo uno de los resultados es un 2. Entonces, el número de resultados favorables es 1 y el número de resultados totales es 6. Entonces, la probabilidad de sacar un 2 es 1/6 .

Dado que la probabilidad de sacar un 2 es 1/6, la probabilidad de sacar un 2 en el próximo lanzamiento sería la misma. Para calcular la probabilidad de que ambos eventos sucedan juntos, necesitaremos multiplicar las dos probabilidades juntas. Al multiplicar estas dos probabilidades juntas, obtienes 1/36. Entonces, la probabilidad de lanzar un dado y obtener un 2, luego lanzar un dado nuevamente y obtener otro 2, sería 1/36.

Probabilidad de eventos independientes

Nuevamente, los eventos independientes son los eventos que no afectan el resultado de los eventos posteriores. La última situación fue un ejemplo de un evento independiente. Lanzar el dado y obtener un 2 no afectó el resultado del segundo evento de lanzar el dado nuevamente. Cada lanzamiento del dado es un evento independiente.

Veamos otro ejemplo de un evento independiente. Jamie y Sam estaban debatiendo y decidieron que la mejor manera de resolver su disputa era lanzando una moneda. Jamie decidió ser cabeza y Sam decidió tomar cruz. Jamie ahora tiene curiosidad: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda dos veces, reciban cara cada vez?

Para encontrar esta probabilidad, Jamie debe averiguar la probabilidad de que cada evento ocurra por separado. Para calcular la probabilidad, Jamie debe usar la fórmula: el número de resultados favorables sobre el número de resultados posibles.

Jamie sabe que la moneda tiene dos caras y solo una de ellas es cara. Entonces, la probabilidad de que Jamie obtenga cara en el primer lanzamiento es 1/2. Mientras los niños se preparan para lanzar una moneda por segunda vez, saben que la probabilidad de lanzar una moneda y obtener cara es 1/2. La probabilidad de sacar cara en el segundo lanzamiento también es 1/2. Para encontrar la probabilidad de que estos dos eventos sucedan juntos, necesitamos multiplicar estas dos probabilidades juntas. Cuando multiplicamos 1/2 por 1/2, obtenemos 1/4. Jamie ahora sabe que la probabilidad de lanzar una moneda dos veces y salir cara en ambas ocasiones es 1/4.

Probabilidad de eventos dependientes

Al contrario de los eventos independientes, los eventos dependientes son eventos en los que los intentos previos afectan el resultado de eventos posteriores. Los eventos dependientes son como suenan: cada evento depende de lo que sucedió en el intento anterior. Veamos un ejemplo de estos eventos dependientes.

A James the Superb Magician le gusta deslumbrar y sorprender a su audiencia con un truco de cartas en el que selecciona dos cartas al azar de una baraja de cartas, pero anuncia las cartas que seleccionará antes de seleccionarlas. James le pide a un miembro de la audiencia que se una a él para el truco. Wendy, una miembro del público femenino, levanta la mano para ofrecerse como voluntaria. La multitud le da un aplauso entusiasta mientras se dirige al escenario. James le explica a Wendy que seleccionará una carta al azar de la baraja de cartas. Wendy examina la baraja de cartas para asegurarse de que sea justa. James anuncia que primero sacará un as de la baraja.

Wendy se pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que James seleccione un as de la baraja de cartas? Sabe que hay 4 ases de 52 cartas.

James le explica a Wendy que ahora seleccionará otra carta de la baraja, y también será un as. Wendy está perpleja de cómo James podría tener la suerte de sacar dos ases seguidos de la baraja de cartas. Piensa para sí misma: ¿Cuál es la probabilidad de que James elija un as y luego, sin reemplazar la carta, elija otro as?

Wendy sabe que para encontrar la probabilidad de que él seleccione un as de la baraja de cartas, necesitará usar la fórmula: número total de resultados favorables sobre el número total de resultados. En el primer evento, el número de resultados favorables es 4 porque James estaba seleccionando uno de los 4 ases. El número total de resultados es 52 porque hay 52 cartas en una baraja de cartas estándar. Entonces, Wendy sabe que la probabilidad de que James elija un as en el primer sorteo es 4/52.

James da vuelta la primera carta que seleccionó para mostrarla, de hecho, era un as. La multitud aplaude con entusiasmo.

Wendy ahora debe calcular la probabilidad de que James obtenga un as en el segundo sorteo. Ella sabe que James no reemplazó la carta, por lo que solo quedan 51 cartas en la baraja. También sabe que solo pueden quedar 3 ases porque la primera carta que seleccionó fue un as. Entonces, la probabilidad de que obtenga un as en el segundo sorteo es 3/51.

Para encontrar la probabilidad de que James obtenga un as en la primera carta y luego, sin reemplazarlo, obtenga un as en la segunda carta, Wendy necesita multiplicar estos dos eventos juntos. Necesitará multiplicar 4/52 x 3/51. Al multiplicar estas dos probabilidades juntas, obtiene 12/2652. Ella reduce la fracción a 1/221. La probabilidad de que James seleccione un as de una baraja de cartas y luego, sin reemplazar la carta, seleccione otro as es 1/221.

Ejemplo de eventos dependientes

Veamos otro ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una pala de una baraja de cartas estándar y luego, sin reemplazar la carta, seleccionar un as? Al observar esta pregunta, sabemos que se trata de un evento dependiente porque la tarjeta no se reemplaza. Por lo tanto, el primer evento afectará los resultados del segundo evento. Para calcular la probabilidad de que ocurran ambos eventos, necesitaremos encontrar la probabilidad de cada evento por separado y luego multiplicar las dos probabilidades juntas.

Para calcular la probabilidad del primer evento, seleccionando una pala de una baraja de cartas estándar, usaremos la fórmula: número total de resultados favorables sobre el número total de resultados. En una baraja de cartas estándar, hay 4 palos diferentes, cada uno con 13 cartas. Entonces, hay 13 espadas en cada mazo de cartas, que sería el número de resultados favorables. El número total de resultados sería el mismo que el número de cartas en la baraja, que es 52. La probabilidad de seleccionar una pala de una baraja de cartas estándar es 13/52. Sin embargo, para facilitar este problema, podemos reducir la probabilidad 13/52 a 1/4.

Ahora encontremos la probabilidad de que ocurra el segundo evento, seleccionando un as de una baraja de cartas estándar. Recuerde que después del primer evento, la tarjeta no fue reemplazada. Esto afecta la cantidad de cartas que hay ahora en nuestro mazo de cartas. Con una carta seleccionada, solo quedan 51 cartas en nuestro mazo de cartas. Entonces, el número total de resultados restantes es 51. En cuanto al número de resultados favorables, se seleccionó una espada en el primer evento. La carta podría haber sido el as de espadas. Dado que esta carta fue descartada, el número de resultados favorables que sabemos con certeza permanecen en nuestro mazo de cartas es 3. Sabemos que la probabilidad de que ocurra el segundo evento es 3/51. Nuevamente, para facilitar este problema, podemos reducir esta probabilidad a 1/17.

Para calcular la probabilidad de que ambos eventos ocurran en conexión entre sí, necesitamos multiplicar ambas probabilidades juntas. Entonces, el primer evento de seleccionar una espada y luego no reemplazarla fue 1/4, y la probabilidad de seleccionar un as como segundo evento fue 1/17. (La probabilidad de que ocurran ambos eventos es igual a la probabilidad del primer evento multiplicada por la probabilidad del segundo evento dado que ocurrió el primer evento). Al multiplicar estas dos probabilidades, obtenemos 1/68 como la probabilidad de ambos estos eventos ocurren juntos.

Resumen de la lección

En esta lección, analizamos dos tipos de probabilidades: eventos independientes y dependientes. Los eventos independientes son eventos que no afectan el resultado de eventos posteriores. Para calcular la probabilidad de un evento independiente, usamos la fórmula: número total de resultados favorables sobre el número total de resultados.

Los eventos dependientes son todo lo contrario. Los eventos dependientes son eventos en los que los intentos anteriores afectan el resultado de eventos posteriores. La diferencia clave es dónde el segundo evento se ve afectado por el primer evento. Para calcular la probabilidad de cada uno de estos eventos, usaremos la misma fórmula que usamos para el evento independiente, pero una vez que encuentre la probabilidad de cada evento, los multiplicaremos para encontrar la probabilidad de que ambos eventos ocurran juntos. Recuerde que para facilitar el problema, podemos reducir la probabilidad, si es posible.

Los resultados del aprendizaje

Después de completar esta lección, es posible que pueda:

• Diferenciar entre eventos dependientes e independientes
• Calcular las probabilidades de que ocurran eventos dependientes e independientes