Comparación de formas
Triángulos, rectángulos, paralelogramos … las figuras geométricas vienen en todo tipo de formas. Esta diversidad de figuras nos rodea y es muy importante. Por ejemplo, hacer octágonos de señales de alto y triángulos de señales de ceder nos ayuda a diferenciarlos desde la distancia.
Las figuras de la misma forma también vienen en todo tipo de tamaños. La tarjeta de débito en su billetera y la valla publicitaria en la interestatal son rectángulos, pero definitivamente no son del mismo tamaño. Si lo fueran, nunca podrías leer esa valla publicitaria o tu billetera tendría que ser de un tamaño realmente inconveniente.
Cuando estudiamos figuras, comparando sus formas, tamaños y ángulos, podemos aprender cosas interesantes sobre ellas. ¡Vamos a por ello!
Formas congruentes
A veces, las formas más fáciles de comparar son aquellas que son idénticas o congruentes. Las formas congruentes son figuras del mismo tamaño y forma. También podría pensar en un par de autos, donde cada uno es de la misma marca y modelo. Son iguales en todos los sentidos. Bueno, hasta que uno sea engañado asombrosamente.
Para obtener un ejemplo de congruencia más basado en la geometría, observe estos dos rectángulos:
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Podemos ver que ambas figuras tienen los mismos largos y anchos. A continuación, mire estos hexágonos:
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No se giran de la misma manera, pero son congruentes. Los lados y los ángulos coinciden. Si tomamos uno, lo giramos y lo ponemos encima del otro, verías que encajan perfectamente. Eso es lo que significa ser congruente.
A veces, se le darán pistas especiales para indicar congruencia. Veamos dos triángulos congruentes:
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Cuando dos formas, lados o ángulos son congruentes, usaremos el símbolo de arriba. Sabemos que el ángulo A es congruente con el ángulo D debido a los símbolos en los ángulos. Asimismo, el ángulo B es congruente con el ángulo E y el ángulo C es congruente con el ángulo F.También tenemos las marcas de control en los triángulos para indicar que la línea AB es congruente con la línea DE, la línea BC es congruente con la línea EF y la línea AC es congruente con la línea DF.
Practica con formas congruentes
Cuando tienes formas congruentes, puedes identificar la información que falta sobre una de ellas. Considere estos dos triángulos:
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Sabemos que son congruentes, lo que nos permite calcular el ángulo F y el ángulo D. Solo necesitamos averiguar cómo el triángulo ABC se alinea con el triángulo DEF. Si AB es congruente con DE, y AC es congruente con DF, entonces el ángulo A será congruente con el ángulo D. Entonces, el ángulo D es de 55 grados. Podríamos usar la misma lógica para determinar que el ángulo F es de 35 grados. O, simplemente podríamos saber que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180, y restar 55 y 90 de 180 para obtener 35. De cualquier manera, ahora conocemos todos los ángulos en el triángulo DEF.
A veces tienes incluso menos información con la que trabajar. Pero, todavía puedes averiguar bastante. Considere estos triángulos:
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Todo lo que se nos da es la afirmación de que el triángulo MNO es congruente con el triángulo PQR. También conocemos las medidas de los ángulos O y Q. En realidad, esto es todo lo que necesitamos saber para averiguar todo sobre estos dos triángulos. Usa el orden de los vértices para guiarte. M corresponde a P, N a Q y O a R. Entonces, el ángulo M es congruente con el ángulo P, N con Q y O con R. Eso significa que el ángulo R es 50 grados y el ángulo N es 100 grados. Como necesitamos que los ángulos sumen 180, los ángulos M y P deben ser cada uno de 30 grados.
Formas similares
Las formas similares son muy parecidas a las formas congruentes. La diferencia clave es que las formas similares no necesitan ser del mismo tamaño. Entonces, formas similares son figuras con la misma forma pero no siempre del mismo tamaño. ¿Recuerdas esos dos autos que miramos? Son similares. Pero también lo son un automóvil y una versión Matchbox. Ese coche Matchbox tiene la misma forma, pero mucho más pequeño.
Aquí hay dos rectángulos similares:
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Observe que 2/5 es igual a 4/10. Si supiéramos que los rectángulos son similares, pero no supiéramos la longitud del naranja, podríamos establecer la ecuación 2/5 = 4 / x y resolver para x.
Aquí hay dos triángulos similares:
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Los identificaríamos como similares usando el símbolo entre los triángulos. Diríamos que el triángulo ABC es similar al triángulo DEF. Nos dan las longitudes de los lados, por lo que podemos ver que AB / DE = BC / EF = AC / DF. En formas similares, los ángulos correspondientes son congruentes. Eso significa que el ángulo A es congruente con el ángulo D, el ángulo B es congruente con el ángulo E y el ángulo C es congruente con el ángulo F.
Practica con formas similares
Intentemos practicar con algunas formas similares. Aquí hay dos rectángulos similares:
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¿Puedes averiguar x? Solo necesita configurar una ecuación simple: 3/6 = 7 / x. Multiplica en cruz: 3x = 42. x = 14. ¡Lo logramos!
Aquí hay un par de triángulos:
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Esta vez, hay dos variables: xey. Empecemos con x. 8/6 = 12 / x. 8x = 72. x = 9. Ok, ahora y. 8/6 = 16 / año. 8y = 96. y = 12. ¡Eso es!
Las propiedades de formas similares no se limitan a rectángulos y triángulos. También funcionan para formas más complicadas. Digamos que quieres construir una réplica a escala del Halcón Milenario de Star Wars en tu garaje. ¿Por qué? Por qué no? El barco original mide unos 115 pies de largo y 85 pies de ancho. ¿Tu garaje? Tiene solo 24 pies por 20 pies. Si quieres hacerlo lo más grande posible, entonces harás tu barco de 24 pies de largo. ¿Qué tan ancho será? 115/24 = 85 / x. 115x = 2040. x = 18. Entonces, su nave tendrá 24 pies por 18 pies. Por supuesto, esto no te deja espacio para caminar alrededor o pasar por la puerta, pero está bien. Probablemente no volará. ¿O lo hará?
Resumen de la lección
En resumen, las formas congruentes son figuras del mismo tamaño y forma. Las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos son idénticas. Son copias exactas, incluso si una está orientada de manera diferente.
Las formas similares son figuras con la misma forma pero no siempre del mismo tamaño. Debido a que las formas son proporcionales entre sí, los ángulos permanecerán congruentes. Y siempre puede encontrar la longitud de los lados configurando ecuaciones simples.
Los resultados del aprendizaje
Después de esta lección, podrá:
- Definir formas congruentes y formas similares
- Encuentra los ángulos que faltan y las longitudes de los lados usando las reglas para formas congruentes y similares.
- Usar las propiedades de formas similares para determinar escalas para formas complicadas
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