Sólidos
¡Los sólidos matemáticos están en todas partes! Los ladrillos son sólidos matemáticos. Los peluches son sólidos matemáticos. En matemáticas, definimos un sólido como un objeto tridimensional. Esto cubre prácticamente cualquier objeto que vemos en el mundo que nos rodea. El mundo en el que vivimos es tridimensional, por lo que todo en él es un sólido matemático. ¡Nuestros propios cuerpos están clasificados como sólidos!
En esta lección, echamos un vistazo a estos sólidos y veremos qué hace que los sólidos sean congruentes y qué hace que los sólidos sean similares.
Sólidos congruentes
Cuando decimos que dos sólidos son congruentes , estamos diciendo que son iguales entre sí. Esto significa que son exactamente iguales en todos los detalles. Visualicemos esto: imagina que estás jugando con bloques de construcción. Cuando tenga dos bloques de construcción congruentes, estos bloques de construcción serán exactamente iguales. Tienen la misma altura, el mismo ancho y la misma longitud. Si los coloca uno al lado del otro, no podrá distinguirlos. No tienen diferencias entre ellos. Entonces, ser congruente es lo mismo que ser exactamente igual en cada detalle.
Sólidos similares
Cuando dos sólidos son similares , significa que tienen la misma forma pero diferentes tamaños. Piense en ello como si uno fuera un modelo del otro. Entonces, uno será la versión más grande o la versión más pequeña del otro. Son iguales en todos los demás detalles excepto en su tamaño. Debido a que son iguales en todos los demás detalles, cada medida de un sólido es la misma cantidad más grande o más pequeña que cada medida correspondiente del otro sólido.
Por ejemplo, eche un vistazo a estas dos pirámides. Uno es más grande y el otro es más pequeño. Parece que el más pequeño es una versión del tamaño de un juguete del más grande. ¿No es lindo? Ambos tienen bases cuadradas. La altura del más grande es de 8 pulgadas y la altura del más pequeño es de 4 pulgadas. Debido a que la altura de la pirámide más grande es dos veces más grande que la altura de la pirámide más pequeña (4 * 2 = 8), entonces todas las otras medidas de la pirámide más grande serán dos veces más grandes que las de la pirámide más pequeña.
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Entonces, si el borde inferior de la pirámide más pequeña mide 3 pulgadas, entonces el borde inferior de la pirámide más grande medirá 3 * 2 = 6 pulgadas (el doble de grande que la más pequeña). Matemáticamente, podemos escribir esto como una razón a : b , donde a y b son tus objetos. Si comparamos la altura de la pirámide más grande con la pirámide más pequeña, escribimos 8: 4. Simplificando esto, obtenemos 2: 1. Esto nos dice que cuando algo mide 1 en la pirámide más pequeña, medirá 2 en la pirámide más grande.
Volúmenes y áreas de sólidos similares
Acabamos de aprender que cuando dos objetos son similares, las medidas de un objeto siempre serán la misma cantidad mayor o menor que las medidas correspondientes del otro. Bueno, ¡se vuelve aún más interesante! Cuando dos objetos son similares, sus áreas también están relacionadas.
Volvamos a nuestras pirámides. Sabemos que los lados de la pirámide más grande son dos veces los lados de la más pequeña. Para calcular cuánto más grande es el área de la pirámide más grande en comparación con la pirámide más pequeña, podemos ir a la proporción de sus lados, la proporción de 2: 1. Todo lo que tenemos que hacer es elevar al cuadrado ambos números. Elevamos el 2 al cuadrado y el 1. Obtenemos 2 ^ 2: 1 ^ 2 que se convierte en 4: 1. Esto nos dice que el área de la pirámide más grande es cuatro veces mayor que la de la pirámide más pequeña.
También podemos averiguar cuánto mayor es el volumen de la pirámide más grande en comparación con la pirámide más pequeña. Para hacer esto, podemos reducir al cubo la razón de nuestra medida. Obtenemos 2 ^ 3: 1 ^ 3, que se convierte en 8: 1. Esto nos dice que el volumen de la pirámide más grande es 8 veces el de la pirámide más pequeña.
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido. Un sólido es un objeto tridimensional. Cuando dos sólidos son congruentes , son iguales entre sí. Cuando dos sólidos son similares , significa que tienen la misma forma pero diferentes tamaños. El objeto más grande tendrá medidas que serán siempre la misma cantidad que el objeto más pequeño.
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Si el objeto más grande mide tres veces más en una medida, todas las demás medidas también serán tres veces más grandes. Escribimos esto como una razón a : b , donde a y b son los objetos. Si a es el objeto más grande y es tres veces más grande, escribimos la razón como 3: 1.
Las áreas y volúmenes de estos objetos similares también están relacionados. Para calcular cuánto más grande es el área del sólido, cuadramos nuestra razón para obtener a ^ 2: b ^ 2. Esto nos dirá cuánto mayor es el área del sólido más grande en comparación con el sólido más pequeño. Para el volumen, reducimos al cubo la razón para obtener a ^ 3: b ^ 3. Esto nos dice cuánto mayor es el volumen del sólido más grande en comparación con el sólido más pequeño.
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